كيف تكشف الرياضيات طبيعة الكون؟

لنتحدث عن طبيعة الكون، لنخض نقاشا عن الكون بشكل عام، لا شك انك ستتخيل قصة مليئة بالأحداث المذهلة كانهيار النجوم، اصطدام المجرات، حوادث غريبة مع الجسيمات، وحتى الثورات الكارثية للطاقة. قد تتوقع قصة تخدش اتساع الزمان كما نفهمه، بدءا من الإنفجار العظيم لنهبط هنا، لحسن الحظ لدينا آليّة لنتعلّم وندرس جمال الكون وروعته، إنها الرياضيات، ومن دونها سيكون الكون بالنسبة لنا مجرد ظلام.

في هذا المقال سنحاول أن نوضح لكم أن الرياضيات ليست مجرّد رموز وأرقام عشوائية وضعها العلماء سابقا، وبدلا من ذلك هي لغة نتواصل بها مع النّجوم.

بدأت الرياضيات من حقب بشرية قديمة (كالحضارة البابلية التي تنسب إليها أول رياضيات منظمة في التاريخ المسجّل)، ويُعتقد أنهم استخدموا الرياضيات طريقةً لتتبع الدورات القمرية والشمسية، وحساب الماشية، الأكل، والناس من طرف القائد.

من الطبيعي أنه وأنت صغير تلاحظ أنك تملك لعبة ولعبة أخرى، أي أنك تملك أكثر من واحدة، عندما تكبر بقليل بعدها تطور القدرة على ملاحظة أن 1+1=2، والحسابيات البسيطة يبدو أنها متشابكة مع طبيعتنا. من يعتقد أنه لا يملك دماغا يصلح للرياضيات مخطئ فكما نملك دماغا للتنفس ورمش العينين، كلنا نملك القدرة على فهم الرياضيات. الرياضيات مزيج بين موجود طبيعي ونظام مصمم من طرف البشر.

من الواضح أن لدينا القدرة على التعرف على الأنماط الحسابية، ونصنع بعدها أنظمة رياضية أكثر تعقيدا والتي ليست واضحة في الطبيعة لكنّها تسمح بالتواصل بشكل أعمق مع الطبيعة. تطورت الرياضيات بشكل موازي للتطور البشري، وكانت عدة حضارات تُطورها في الوقت ذاته.

من المدهش أن تلك الحضارات التي لم يكن بينها أي تواصل، كانت تطور بنيات رياضية متشابهة دون أي إتصال بينها! لكن، لم تبدأ الرياضيات التطور بهذه الطريقة المدهشة إلى أن قررت البشرية أن تحول معرفتها الرياضية إلى السماء. وليس مصادفة أن تطورنا العلمي كان مرتبطا بتطور رياضيات أكثر تقدّما، مصنوعة ليس لحساب الماعز والبشر. بل لمعرفة مكاننا في الكون.

عندما بدأ جاليليو قياس معدلات سقوط الأشياء محاولة منه لتوضيح أن كتلة جسم ما لديها تأثير طفيف في سرعة سقوطه ، فقد غيّر المستقبل البشري.

المجتمع العلمي المغربي

للمزيد»

كيف يلعب الحاسوب الشطرنج؟

كل لعبة يمر بها اللاعب هي تجربة يختزنها الدماغ البشري، فيسجل حالات الرقعة المختلفة، ويحلل هذه التجارب ليكتشف خططًا وخدعًا جديدة. وعند تطور مستوى المهارة غالبًا ما يتجه اللاعب إلى قراءة كتب الشطرنج ليكتشف أنماط لعب جديدة اسُتخِدَمت من أفضل اللاعبين تاريخيًا، ليطور استراتيجياته وتكتيكاته مع كل لعبة يمر بها.

إذًا بالنسبة للاعب الشطرنج البشري، لعبة الشطرنج عبارة عن نشاط ذهني مجرد عالي المستوى (استخدام الذاكرة البصرية لمطابقة أنماط اللعب وتذكر مواضع القطع على الرقعة، مراعاة قواعد وتعليمات اللعبة، التفكير الواعي، وحتى علم النفس) ولكن الحواسيب لاتلعب الشطرنج هكذا!

إن كان الشطرنج نشاطًا فكريًا عاليًا يختص به البشر ويتطلب قدرًا من الذكاء والتفكير، كيف يمكن للحاسوب أن يلعب الشطرنج؟
سنلقي الضوء على هذا الموضوع، وسنرى أن الحاسوب لا يلعب الشطرنج كما يفعل البشر، بل يقوم بإجراء حسابات كثيرة باتباع خوارزميات ومعادلات رياضية محددة للحصول على أفضل حركة ممكنة. ومع التقدم الذي تشهده الحواسيب في السرعة والأداء وعمل العلماء على تطوير وتحسين الخوارزميات باستمرار، تزداد جودة هذه الحسابات. وقد أضحت الحواسيب أفضل لاعبي شطرنج على وجه الأرض، على الرغم من لعبهم بشكل أعمى.
يمكن وصف برامج الشطرنج في الحواسيب هذه الأيام على الأقل بأنها شديدة التعقيد، إلا أن جميها يتضمن حسابات عمياء بسيطة في الصميم، ولنقل، مثًلا: بأنك جهزت رقعة شطرنج لبداية لعبة جديدة. كل لاعب لديه 16 قطعة. ولنقل أن اللاعب الأبيض يبدأ اللعب وهذا ما يجري عادة. فسيكون للاعب الأبيض حينها 20 حركة ممكنة:

* يمكن للاعب الأبيض تحريك أي بيدق إلى الأمام خطوة واحدة أو خطوتين. *(16 حركة ممكنة)* 

* يمكن للاعب الأبيض تحريك أي من الأحصنة بطريقتين مختلفتين. *(4 حركات محتملة)*

يقوم اللاعب الأبيض بلعب إحدى هذه الحركات العشرين.

بالنسبة لللاعب الأسود يوجد نفس مجموعة الخيارات: عشرون حركة ممكنة. ويقوم اللاعب الأسود بحركته.

والآن يقوم اللاعب الأبيض بحركته مرة أخرى. والحركة التالية تعتمد على اختيار اللاعب الأبيض للحركة، لكن تقريبًا يوجد 20 حركة ممكنة لللاعب الأبيض، وبعدها 20 حركة تقريبًا للاعب الأسود لكن مع مراعاة حالة ومواقع القطع على الرقعة بالنسبة لكلا اللاعبين، القطع التيُ أعيَقت حركتها بقطع الخصم أو القطع التي تم أسرها، على سبيل المثال. وهكذا!

هكذا ينظر الحاسوب إلى الشطرنج. فهي عبارة عن عالم الربح طبعًا، ويقوم بعمل "شجرة" ضخمة لجميع هذه الحركات، على الشكل التالي تقريبًا:

في بداية اللعبة، 20 حركة ممكنة للأبيض. تليها 20*20 حركة ممكنة للأسود أي 400 حركة ممكنة للأسود، مع الأخذ بعين الاعتبار حالة الرقعة الجديدة التي تغيرت بسبب حركة الأبيض سابقًا. ونفس الأمر بالنسبة لحركة الأسود القادمة، تقريبًا 400*20 أي 8000 حركة ممكنة للأبيض، ثم 8000*20 أي 160 ألف حركة ممكنة للأسود.. وهكذا.

الآن، إذا أردنا حساب شجرة جميع حركات الشطرنج الممكنة، يكون عدد جميع الرقع الممكنة حوالي: 1،000،000،000،000،000،000،000،000 000،000،000،000،000،000،000،000، 000،000،000،000،000،000،000،000، ،000،000،000،000،000،000،000،000، 000،000،000،000،000،000،000،000 أي 10^120) 10 مرفوعة للقوة 120 .(وهو رقم عملاق جداً.

فعلى سبيل المثال، حسب نظرية الانفجار الكبير لقد تكون الكون قبل 10^26) عشرة مرفوعة للقوة 26 نانوثانية. كماُ يعَتَقد بوجود 10^75 ذرة فقط في كامل الكون. وعلى اعتبار احتواء مجرة درب التبانة على البلايين من الشموس، ووجود بلايين المجرات، تستطيع الاقرار بوجود عدد كبير جدًا من الذرات إلا أّن عدد تلك الذرات يعتبر قزمًا أمام عدد جميع الحركات الممكنة في لعبة الشطرنج.
 نعم، الشطرنج لعبة شديدة التعقيد!

لايوجد حاسوب يمكنه القيام بحساب كامل شجرة اللعب، وإنما يقوم برنامج الشطرنج بتوليد شجرة حالات للرقعة لـ 5 أو 10 أو ربما 20 حركة مستقبلية فقط، وعلى اعتبار وجود 20 حركة ممكنة من أجل أّية حالة رقعة، تحوي شجرة حالات الرقعة من المستوى الخامس على 3 200 000 حالة. بينما شجرة حالات بعمق 10 تحوي على 10 ترليونات حالة تقريبًا.

يتحدد عمق الشجرة التي يمكن للحاسب حسابها بسرعته. وأسرع حواسيب الشطرنج في العالم يمكنها توليد وتقييم ملايين الحالات في الثانية الواحدة. بعد توليد الشجرة يقوم الحاسب بتقييم الحالات. ويتم ذلك من خلال النظر إلى القطع على ويتم التقدير باستخدام ما يدعى سيئة" " جيدة" أم الرقعة والتقرير فيما إذا كانت إحدى الحركات " دالة التقييم Function Evaluation .أبسط دوال التقييم تقوم بعّد قطع كل لاعب، فإذا كان الحاسب يلعب بالقطع البيضاء وله 11 قطعة على الرقعة ولدى اللاعب الأسود 9 قطع، تكون صيغة التقييم على الشكل التالي: 11-9=2. من الواضح أّن هذه الصيغة بسيطة جدًا بالنسبة للعبة كالشطرنج، فبعض القطع لها أهمية أكثر من غيرها. وبعض التحسين على الصيغة قد يتضمن إدخال وزن (قيمة) لكل نوع من القطع. وقد يقوم المبرمج بتطوير الدالة أكثر فيأخذ بعين الاعتبار مواقع القطع على الرقعة: التحكم بالمركز، احتمالية كش الملك، نقاط ضعف وزير الخصم، وغيرها الكثير من العوامل. ومهما تعقدت دالة التقييم إلا أنها تخفض إلى رقم واحد فقط يمثل "أفضلية" تلك الرقعة لللعب.

مخطط شجرة بثلاث مستويات : يظهر المخطط التالي شجرة من ثلاث مستويات تقوم باستشراف ثلاث حركات إلى الأمام وقد قيمت مواضع الرقعة النهائية: يلعب الحاسب بالقطع البيضاء. يقوم اللاعب الأسود بحركته ويترك موضع الرقعة في أعلى الشجرة. في هذه الشجرة، يمكن للأبيض القيام بثلاث حركات مختلفة. من كل حركة من هذه الحركات يمكن للأسود القيام بثلاث حركات مختلفة. ومن كل من هذه المواضع التسعة يمكن للأبيض القيام بحركتين مختلفتين. (فعليًا، يكون العدد الكلي للحركات من أي موضع تقريبًا 20 ،لكن من الصعب رسم ذلك.)

ينظر الحاسب إلى هذه الشجرة ويعمل من الأسفل باتجاه الأعلى وذلك حتى يقرر ما الحركة التي سيتخذها. وتعمل حساباته على إيجاد أفضل حالة للرقعة من بين جميع الحالات الممكنة التي سيقوم بها الأسود (فهو يأخذ الأعظمي بينها):

بالارتفاع مستوى للأعلى، يفترض بأن الأسود سيقوم بحركة لجعل الرقعة أسوأ ما يمكن للأبيض (يأخذ الأصغري بين الحالات الممكنة):

تدعى هذه الطريقة بخوارزمية minimax وذلك لأنها تقوم بالتبديل بين إيجاد القيم العظمى والصغرى مع تقدم العمل بالشجرة (نحو الأعلى). يمكن تسريع هذه الخوارزمية للضعف بتطبيق تقنية تحسين عليها تدعى pruning beta alpha ،كما يتم التقليل من استهلاك الذاكرة أيضًا. كما ترى، العملية آلية بحتة ولاتطلب أّي تفكير، فهي ببساطة تحاول حساب جميع الاحتمالات الممكنة واختيار الأفضل من بينها عن طريق دالة تقييم على شجرة بعمق محدد..

الأمر المميز أّن هذه الطريقة البسيطة تعمل بشكل فّعال جدًا، فعلى حاسب بسرعة جيدة يمكن للخوارزمية استشراف حركات مستقبلية بما يكفي للعب لعبة جيدة جدًا. وإن قمنا بإضافة تقنيات تعلم إلى تابع التقييم (عن طريق الذكاء الصنعي) يمكن تعديل نتيجة دالة التقييم بالاعتماد على الخبرات السابقة الناتجة عن تحليل الألعاب السابقة، وتتحسن الجودة مع الزمن. لاشيء كالإنسان! لكن عندما نتوصل إلى معرفة آلية التفكير لدينا وإن تمكنا من إنشاء حاسب يستخدم نفس تقنيات التفكير البشرية للعب الشطرنج، حينها قد نكون حصلنا على شيء مميز...

المصدر: الباحثون السوريون

للمزيد»

هل الرياضيات مكتشفة أم مخترعة؟

الرياضيات هي لغة العلم التي مكّنت البشرية من إحداث تطورات غير اعتيادية في مجالات التكنولوجيا، حيث ليس هناك مجال للشك بأن المنطق والنظام الذي يشكّل لغة الرياضيات قد أسدى الينا خدمة عظيمة في وصف طبيعة وبنية ما نراه في الطبيعة حولنا.

ان النجاحات التي تم انجازها ابتداء من رياضيات الفَلك وصولاً الى الأجهزة الألكترونية بحجم ميكروسكوبي، هي نجاحات مبهرة، يقول آينشتاين: "كيف يمكن للرياضيات، بعد كل نتاجات الفكر الأنساني غير المعتمد على الخبرة، أن تكون بذلك الشكل المبهر الذي يتناسب مع كل الأشياء في الواقع؟"

لايوجد توافق في الآراء بين العلماء والرياضياتيين بشأن هذه المسألة الرائعة. لغز آينشتاين هذا قد تلقّى ردود متنوعة منها:

١- الرياضيات شيء فطري: ان السبب الذي يجعل الرياضيات لغة العلم الطبيعية، هو ان الكون يرتكز على نفس أنظمة الرياضيات. أن هياكل الرياضيات هي جواهر الطبيعة. وعلاوة على ذلك، اذا حدث وتلاشى الكون غداً، فأن الحقائق الرياضية الأبدية سوف تبقى موجودة، وهذا الأمر يساعدنا في فهم طريقة عمل الرياضيات، وهذا بدوره يساعدنا أيضاً في تشكيل نماذج رياضية تعطينا القوة التنبؤية الكافية لفهم الظواهر الفيزيائية التي نسعى للسيطرة عليها. هذا الموقف يميل للرومانسية وهذا ما أدعوه بالموقف الأفلاطوني.

٢- الرياضيات مُنجَز أنساني: أن السبب الوحيد الذي يجعل من الرياضيات لغة رائعة ومناسبة جداً في ان تصف العالم المادي هو اننا اخترعناها لكي تقوم بذلك. انها نتاج العقل البشري الذي أخذ من الرياضيات طريقاً يتناسب مع اغراضه. أذا تلاشى الكون، فلن يكون هناك رياضيات بنفس الطريقة التي تُبنى عليها كرة القدم، التنس، الشطرنج أو أي مجموعة أخرى لها قواعد رياضية متفق عليها. الرياضيات ليست اكتشاف، بل هي اختراع. وهذا موقف غير أفلاطوني.

٣- الرياضيات ليست ناجحة جداً: أولئك الذين يتعجبون من الكم الهائل للتطبيقات الرياضية الموجودة، ربما تم أغوائهم بفعل المبالغة الزائدة في نجاحاتهم. أن المعادلات الرياضية التحليلية هي الوحيدة التي تقترب من وصف العالم الحقيقي، ثم بعد ذلك تصف أفرع محدودة جداً للظواهر من حولنا. نحن نميل الى التركيز على المشاكل الفيزيائية التي من خلالها نجد طريقاً نستطيع تطبيق الرياضيات فيه. لذا فأن التركيز المفرط على هذه النجاحات هو أحد أشكال مايسمى “انتقاء الكرز” . وهذا موقف واقعي.

٤- حافظ على هدوئك واستمر: لا يهم ماتنتجه الرياضيات من نتائج، اترك هذه الأمور للفلاسفة ينشغلون بها. وهذا مايسمى موقف “اصمت وواصل الحساب”

ان النقاش حول الطبيعة الأساسية للرياضيات هو ليس بالأمر الجديد، وقد بدأت منذ زمن الفيثاغوريين.

هل يمكننا اذن ان نسلط الضوء على المواقف الأربعة أعلاه؟

أن التطور الحديث الذي شهده القرن الماضي كان في اكتشاف الفركتلات. وهي عبارة عن انماط رياضية معقدة، كمجموعة مارلبورت، والتي يمكن التوصّل اليها من خلال مجموعة معادلات بسيطة ومتكررة. ان علماء الرياضيات الافلاطونيين يشيرون الى ان الفركتلات هي انماط شائعة في الطبيعة، وأن العلماء اكتشفوها ولم يخترعوها. لكن الرأي المضاد يقول ان لكل مجموعة من القواعد، هناك خصائص تم أنشاؤها. قواعد الشطرنج، على سبيل المثال، هي من الواضح انها اختراع انساني، لكنها تعطينا عدداً من النتائج الأنيقة والمدهشة في بعض الأحيان. هناك عدد غير محدد من المعادلات المتكررة التي يستطيع المرء أنشاؤها، لكن أذا حدث وان ركّزنا على مجموعة فرعية صغيرة، تنتج انماطاً جميلة من الفركتلات، فأننا بذلك نقوم بأغواء انفسنا.

لنأخذ مثالاً اخر، ونقوم بجلب عدد لاحصر له من القرود ونجعلهم ينقرون على لوحة مفاتيح كاتبة. سوف يبدو أمراً خارقاً اذا حدث وكتب أحد هذه القرود شطراً من أبيات قصائد السونيت لشكسبير. لكن عندما نرى السياق بأكمله، سوف ندرك أن جميع القرود لم تكتب سوى رطانات لامعنى لها. وعلى نحو مشابه، فمن السهل لنا ان نغوي انفسنا بالأعتقاد بأن الرياضيات هي أعجوبة فطرية أذا أردنا ان نركّز بشكل مفرط على نجاحاتها من دون النظر الى الصورة بأكملها.

الرؤية غير الأفلاطونية تعتقد بـ:

أولاً: كل النماذج الرياضية تقريبية من الواقع.

ثانياً: نماذجنا تفشل وتصبح عديمة الفائدة خلال عملية مراجعتها، لذا فأن الحاجة استدعت بأن نخترع رياضيات جديدة. التعبيرات الرياضية التحليلية هي نتاج العقل البشري. وبسبب قدراتنا العقلية المحدودة نحن نسعى الى أدماج التوصيفات الرياضية الأنيقة من أجل تكوين تنبؤات. ان هذه التنبؤات غير مضمون بصحتها والتحقق التجريبي منها مطلوب دائماً. ما شهدناه في العقود القليلة المنصرمة، كما في تقلّص حجم الترانزستور، هو ان ادماج التعبيرات الرياضية مع الترانزستورات فائقة الصغر هو أمر غير ممكن. باستطاعتنا اللجوء الى المعادلات المرهقة، لكن هذا ليس الهدف من الرياضيات. لذا نحن لجئنا الى المحاكاة الحاسوبية باستخدام النماذج التجريبية. وهذا ماتستند عليه الهندسة في هذه الأيام.

ان الموقف الواقعي هو ببساطة امتداد للموقف غير الأفلاطوني، مؤكداً ان أدماج التعبيرات الرياضية التحليلة مع العالم المادي ليس ناجحاً في كل الأحوال كما نعتقد. هذا الموقف يُظهِر باستمرار أن جميع النماذج الرياضية للعالم المادي تتحطم في مرحلة ما. علاوة على ذلك، فأن كل انواع المشاكل التي تتناولها التعبيرات الرياضية الأنيقة تتقلص بصورة فرعية من كل القضايا العلمية الناشئة.

لكن هل الأنشغال بمثل هذا القضايا هو شيء له أهمية؟

أن موقف “أصمت وواصل الحساب” يخبرنا بأن لاننشغل بمثل هذه القضايا طالما ان جميع عملياتنا الحسابية تُخرج نتائج متشابهة، بغض النظر عمّا تعتقد به شخصياً: لذا حافظ على هدوئك واستمر.

أنا من أولئك الذين يعتقدون ان هذا السؤال مهم. حكايتي الشخصية بدأت من اعتيادي ان أكون أفلاطونياً، كنت أعتقد بأن جميع الصيغ الرياضية كانت مطمورة في أنتظار من يكتشفها. هذا يعني انني عانيت فكرياً من أجل اتخاذ موقفي السليم. أثناء أيامي الجامعية، مررت بلحضات من التنوير الفكري التي جعلتني اتحول الى الموقف غير الأفلاطوني. شعرت وكأن عبئاً ثقيلاً قد رفع من على أكتافي. لكن هذا لم يؤثر أبداً على مسيرتي الخاصة في الحساب. أنا اعتقد بأن الموقف غير الأفلاطوني يعطيني حرية أكبر في الفكر. فأذا قبلنا بأن الرياضيات تم اختراعها وليست مكتشفة، فباستطاعتنا ان نكون أكثر جرأة، نطرح أسئلة أعمق، وأن يكون لدينا دوافع لأنجاز المزيد من التغييرات.

هل تذكر كيف أصيب الفيثاغوريين من الأرقام غير النسبية بصدمة محيرة؟، أو الوقت الذي استغرقته البشرية في أدخال الصفر في عمليات الحساب؟ تذكّر القرون التي استمر فيها النقاش حول أذا ماكانت الأعداد السالبة صالحة للأستخدام أم لا؟ تخيل كمّ التقدم العلمي الذي سيحدث في العلوم والهندسة فيما لو كان هذا النقاش قد تم حلّه من قرون مبكّرة؟ أنها أحدى ويلات التفكير الأفلاطوني الذي أعاق من تقدمنا. أنا أزعم بأن التفكير غير الأفلاطوني يحررنا من الجمود الثقافي ويسرّع من تقدمنا نحو الأمام.

المشروع العراقي للترجمة

للمزيد»

جائزة أبل 2016 للبروفيسور ويلز عن مبرهنة فيرما

تمكن عالم الرياضيات البريطاني أندرو ويلز من الحصول على جائزة أبل (Able Prize) لعام 2016 والتي تتضمن مكافأة مالية بقيمة 715 ألف دولار(تقريباً 7 مليون درهم مغربي) لنجاحه في حل معادلة رياضية ظلت مستعصية على الحل طيلة 300 عام، أي منذ سنة 1637.

تقول المعادلة التي تعرف باسم “نظرية فيرما الأخيرة” إنه لا يوجد حلول بعدد صحيح للمعادلة  [xn + yn = zn] عندما يكون n أكبر من 2 .

وطرح هذه المعادلة أول مرة عالم الرياضيات الفرنسي بيري دي فيرمات سنة 1637، وقد أعجزت أنبغ العقول بالعالم لأكثر من 300 عام، لكن البروفيسور بجامعة أكسفورد أندرو ويلز تمكن في تسعينيات القرن الماضي من حلها ليُكرم هذا الأسبوع بجائزة أبل، التي تعد بمثابة ”نوبل للرياضيات”.

مُنحت هذه الجائزة من طرف الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب، وسيقام احتفال رسمي لتكريم ويلز يوم 24 ماي 2016، بحضور ولي العهد النرويجي هاكون.

وقالت لجنة الجائزة: “ويلز أحد قلة قليلة من علماء الرياضيات -إن لم يكن الوحيد-الذي احتل إثباته للنظرية عناوين الأخبار الدولية”. وأضافت أنه تمكن عام 1994 من حل “نظرية فيرما الأخيرة” والتي كانت حتى ذلك الوقت المشكلة الأكثر شهرة والأطول أمدا غير المحلولة في تاريخ الرياضيات.

أما ويلز -الذي يبلغ من العمر 62 عاما- فيقول إنه أصبح مهووسا بالمعادلة منذ كان عمره عشر سنوات بعدما عثر على نسخة منها بمكتبة محلية، وقال: “عرفت منذ تلك اللحظة أنني لن أدع المسألة، وأنه يجب أن أحلها”.

وأضاف أنه أمضى 7 سنوات من العمل السري المكثف لحل المعادلة أثناء عمله في جامعة برينستون، إلى أن تحقق له ما أراد عام 1994 من خلال الجمع بين ثلاثة حقول رياضية معقدة، مشيرا إلى أنه كان محظوظا جدا ليس لأنه فقط حل المشكلة ولكن لأنه فتح بابا جديدا كليا بحقل الرياضيات.

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

للمزيد»

لماذا ندرس الجبر

غالبا ما يكون الجو رائعا ونحن عالقون في حصة الرياضيات نحاول أن نجد قيمة  x أو  y، من يهتم  أصلا؟ لماذا  علينا أن ندرس الجبر؟

كل الرياضيات التي تعلمناها قبل الجبر كالجمع والضرب والقسمة والكُسور إلى غير ذلك لها معنى مادي واقعي. هذه المبادئ تتعامل مع الأعداد بطريقة أو بأخرى، فبإمكاني مثلا أخذ 6 أقلام وأعطي لصديقي اثنين وباستعمال الرياضيات أستطيع أن أعلم عدد الأقلام المتبقية عندي.

باختصار إن الرياضيات الأساسية تتعامل مع الأعداد، وبما أننا نتعلم الحساب من سنّ صغيرة فإن مفاهيم الرياضيات الأساسية تملك قيمة تطبيقية حتى لدى الأطفال.

بمجرد أن نبدأ دراسة الجبر فجأة نتعامل مع الحروف بدل الأعداد، ولا يتوقف الأمر عند هذا الحد، نبدأ في التعامل مع القوى والأقواس والكثير من الرموز الأخرى التي تبدو بأنها لا تملك أيّ معنى على الإطلاق. وهذا ما يدفع معظم الناس إلى كُره الجبر والرياضيات عموما. عليك أن تتعلم قواعد معينة، والخطوات التي عليك القيام بها وعندما تقوم بهذه الخطوات عكسيا تكون إجابتك خاطئة!

يؤدي هذا إلى الإحباط، وتبدأ الأسئلة من قبيل: “لماذا علي تعلم هذا؟”

“هل سأستخدم الجبر أبداً في حياتي؟”

سؤال “لم علي تعلم الجبر؟” هو سؤال صعب، لكن أبسط جواب هو أن الجبر بداية رحلة تتعلم خلالها التقنيات لحل مسائل ومشكلات أكثر تعقيدا.

المسائل التي بإمكاننا حلها باستعمال الجبر موجودة حولنا في كل مكان، عندما نرمي حجرا من سطح منزل، كم سيستغرق ليصل لسطح الأرض؟ ماذا لو رمينا حجرا أثقل بمئة مرة من الأولى؟ ماذا عن صخرة كبيرة؟ الجواب في هذه الحالات الثلاث هو المدّة الزمنية نفسها! الزمن المستغرق في سقوط حر مرتبط بجاذبية الأرض و الارتفاع الذي ترمى منه. وكذلك المعادلات التي تصف دوران مركبة فضائية حول الأرض تتطلب فهم الجبر فقط.

في الحقيقة x هو مجرد بداية للمعادلات المثيرة للاهتمام كالتي تحسب لنا مدار كوكب الأرض، أو تشغل حاسوبك، أو يستخدمها مهندسو الطائرات لجعلها تطير.

رغم أن إيجاد قيمة x قد لا يبدو مثيرا للاهتمام، إلا أنه نقطة البداية لقوة الجبر التي لطالما غيرت العالم.

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

للمزيد»

ما هي الملانهاية؟

بطريقة أو بأخرى، جميعنا لديه فكرة طفيفة عن ماهي اللانهاية. إنها شيء لوصف الأشياء التي لا تنتهي أبداً. الكون اللامنتهي، أو قائمة لا تنتهي كقائمة الأعداد الطبيعية: 1، 2، 3، 4، …مهما قمت بالعدّ و واصلته، لن تستطيع أبداً الوصول إلى نهاية الأرقام ولن تتمكن من الوصول أيضاً إلى نهاية كون لا منتهي حتى لو سافرت بأسرع سفينة فضائية . هذا النوع من اللانهاية هو ما سماه عالم الرياضيات اليوناني القديم أرسطو باللانهاية المحتملة: إنها بالتأكيد هناك ، ولكنك لن تتمكن من مواجهتها وجهاً لوجه، ولن تتمكن من الوصول إلى نهاية هذه القوائم و التوسعات اللانهائية.

كما اعتقد أرسطو بنوع آخر من اللانهاية، ودعاها اللانهاية الفعلية.  وهذا سيكون شيء يمكننا قياسه، كدرجة حرارة جسم ما في مكان ووقت معين. لم يتمكن أحد من رؤية مثل هذه اللانهاية الفعلية، بل ويعتقد أرسطو أن اللانهايات الفعلية لا وجود لها في العالم المادي. حتى يومنا هذا، لا يعرف علماء الفيزياء ما إذا كان هذا صحيحاً أو خاطئاً.

استمر بالعد

دعونا نبقى مع اللانهايات المحتملة potential infinities ؛ تلك التي تصف شيئا لا ينتهي. ذكرنا سابقاً قائمة الأعداد الطبيعية كمثال. الآن فكر في خط طويل مستقيم يبدأ عند نقطة تقع أمامك وتمتد إلى الأبد، إلى الأمام مباشرة. هل هذه اللانهاية تمثل نفس اللانهاية التي تمثلها الأعداد الطبيعية؟

حدسك قد يخبرك أنهما مختلفتان. الأعداد الطبيعية منفصلة، في حين يشكل الخط سلسلة متصلة. الآن دعنا نضع الأعداد الطبيعية على طول الخط الخاص بك، بحيث يفصل كل رقمين مسافة متر واحد. وهذا يعطي شعوراً بأن هناك طريقة ما إلى ما لانهاية الخط أكثر منها إلى ما لانهاية الأعداد الطبيعية (بمعنى أن الخط يبدو لانهائي بشكل اكبر من الأعداد الطبيعية) : أي أنه قادر على ملء الفجوات بين الأعداد.
يتفق علماء الرياضيات مع ذلك الحدس. فيميزون بين اللانهايات القابلة للعد وتلك التي لا تعد. الأعداد الطبيعية تشكل لانهاية معدودة وهذا منطقي، لأنه يمكنك أن تعد هذه الأرقام فيما لو امتلكت وقت لانهائي. وكذلك قوائم لانهائية من الأشخاص. ذلك لأنك (بوقت لانهائي) قادر على وضع قائمة بجميع الأسماء، كل اسم بمكانه الخاص في القائمة، وبعد ذلك يمكنك العد من خلالهم، فقط كما يمكنك العد من خلال الأعداد الطبيعية. بشكل عام، مجموعة لامنتهية من الأشياء تشكل لانهاية معدودة إن استطعت وضع قائمة لها واحداً تلو الآخر، مع مكان في القائمة لكل شيء و شيء واحد لكل مكان في القائمة.
ماذا عن الخط الطويل اللامنتهي؟ إنه أيضاً مصنوع من عدد لانهائي من العناصر: في هذه الحالة العناصر هي نقاط على السطر. إذا تخيلت هذا الخط كمسطرة طويلة غير منتهية، وكل نقطة فيها تأتي مع عدد: نقطة الانطلاق للخط تأتي مع الرقم 0، والنقطة (نصف متر) تأتي مع العدد 0.5،….. وهكذا (مجموعة الأرقام التي ستحصل عليها من المسطرة تدعى بالأرقام الحقيقية الموجبة). هل تستطيع عمل قائمة من تلك الأرقام لتبين أن تلك الأرقام تشكل أيضا لانهاية معدودة؟
ثمة طريقة وحيدة لترتيب هذه الأرقام حسب القيمة. لكن سرعان ما ستواجه المتاعب. من الواضح أن الرقم الأول هو 0، لكن ماذا عن الثاني؟ هل هو 0.1؟ لكن 0.01 أصغر من 0.1 ، لذلك يجب أن يأتي قبل 0.1 . ولكن ماذا عن 0.001؟ فكل رقم قد تضعه في المركز الثاني على اللائحة سيمكنك العثور على رقم أصغر ( بإدراج 0 إضافي بعد العلامة العشرية ببساطة ). لذلك صفّ هذه الأرقام على طول المسطرة حسب القيمة ميؤوس منه.
هل يمكن أن يكون هناك وسيلة أخرى لصفّها؟ الجواب هو لا. هناك حجة التتالي إلى الأمام ( straight-forward argument ) تظهر أن أي قائمة أعداد حقيقية موجبة ستتخطى بالتأكيد عدد حقيقي موجب آخر على الأقل. لا يمكنك أبدا تقديم قائمة كاملة. هذا يدل على أن اللانهاية التي يمثلها الخط اللانهائي ( أو ما يقابله: أي الأرقام الحقيقية الموجبة ) هو لانهاية غير معدودة.

أي لانهاية هي الأكبر ؟

ماذا عن فكرة أن لانهاية الخط السابق على نحو ما هي “أكبر” من لانهائية الأعداد الطبيعية؟. إحدى الطرق لقياس حجم مجموعات منتهية من الأشياء – إن كنت لا تود أن تزعج نفسك بالعد – هي بأن ترى ما إذا كان يمكنك مقارنتها بما يكافئها بالضبط. مثلا فكر في عدد من الكراسي وعدد من الناس. إن كان هناك كرسي واحد لكل شخص دون بقاء أي كرسي فارغ، فستعلم عندها أن عدد الكراسي مساو لعدد الناس. بينما إذا بقي هناك كراسي فأنت تعلم أن هناك كراسي أكثر من الناس. وإن بقي بعض الناس واقفاً، فستعلم أن هناك ناس أكثر من الكراسي.
يمكنك توسيع هذه الفكرة إلى مجموعات لامنتهية من الأشياء. فإذا أمكنك أن تطابق العناصر في المجموعة A بالعناصر في المجموعة B بالضبط، كل عنصر في A يقابل بالضبط عنصر في B والعكس صحيح، فيمكننا أن نقول أن المجموعتين لهما نفس الحجم، أو كما يصفها علماء الرياضيات، وهو نفس عدد العناصر . وقد شاهدنا ذلك بالفعل مع المجموعة اللانهائية من الناس التي تخيلناها سابقا. بوضعهم الواحد تلو الآخر، نطابقهم تماماً مع الأعداد الطبيعية: لكل شخص هناك عدد طبيعي واحد (المكان المخصص له في القائمة) ولكل عدد طبيعي هناك بالضبط شخص واحد (الشخص يحتل مكان على القائمة وفق هذا العدد الطبيعي). لذلك يمكننا أن نقول أن مجموعة من الناس و مجموعة من الأعداد الطبيعية تمثل نفس النوع من اللانهاية، لانهاية معدودة.
وبالعودة إلى النقاط على الخط اللانهائي، يتضح أن أي محاولة لتصنيفها (لمطابقتها تماما مع مقابلها من الأعداد الطبيعية) سيغفل نقطة واحدة على الأقل . هذا هو السبب في أننا نقول أن عدد عناصر الخط (لانهايه غير معدودة ) أكبر من عدد عناصر الأعداد الطبيعية (لانهاية معدودة).

الارتباك المعدود

ظاهرياً قد يبدو أن اللانهايات غير المعدودة غير عملية أو معقدة ومخادعة من تلك المعدودة وفي الرياضيات غالبا ما تكون كذلك. ولكن هذا لا يعني أن تلك المعدودة سهلة أو مفهومة. كمثال على ذلك، تخيل جميع الأرقام الزوجية مثل 2,4,6,8 وما إلى ذلك. هناك الكثير منها بشكل لانهائي، لكن ما هو عدد عناصر ( حجم ) هذه اللانهاية مقارنة بلانهاية جميع الأعداد الطبيعية؟ بالتأكيد يجب أن تكون بنصف كبرها؟
الجواب هو لا. قلنا إن المجموعات الغير منتهية لها نفس عدد العناصر إذا كانت العناصر في واحدة منها تقابل بالضبط عناصر الآخر. فإنه من السهل مطابقة جميع الأرقام الزوجية بالضبط مع جميع الأعداد الطبيعية.

لذلك عدد عناصر الأعداد الزوجية هو نفسه عدد عناصر تلك الطبيعية. إذا كان هذا يبدو غريباً فإن النتيجة التالية أغرب. فمن الممكن إظهار أن جميع الأعداد النسبية (كجميع الكسور مثل 1/2 أو 5/6) يمكن أيضا أن يتم عمل قائمة منها تتطابق تماما مع الأعداد الطبيعية. على الرغم من أنه يبدو أن هناك أعداد أكثر للكسور من الأعداد الطبيعية (هناك عدد لانهائي من الكسور بين أي اثنين من الأعداد الطبيعية المتعاقبة) فالمجموعتين من الأرقام لهما نفس عدد العناصر.
والعالم المشهور غاليليو غاليلي اكتشف حقائق غريبة حول اللانهاية في القرن ال17، ووجدها غريبة جداً بحيث أنها جعلته يفكر في اللانهاية مدعيا أنه “لا يمكننا الحديث عن كميات غير منتهية واعتبار واحدة أكبر أو أقل من أو تساوي أخرى“. وبعد أكثر من 200 سنة، عالم الرياضيات جورج كانتور التقط هذه الأفكار مرة أخرى، غير مهاب من غرابتها، وذهب أبعد من ذلك بكثير. اكتشف برج كامل من اللانهايات ، كل واحده أكبر من الأخرى . لانهاية الأعداد الطبيعية ولانهاية الخط هي فقط منها.

المصدر: الفضائيون

للمزيد»

الأعداد الصديقة، الأعداد الزائدة، الأعداد المثالية

هل سمعت من قبل عن الاعداد الصديقة أو الاعداد الزائدة أو الاعداد الجبرية أو رقم الوحش؟ تابع معنا المقال لتتعرف على هذه الأعداد.

الأعداد الزائدة

في نظرية الاعداد، العدد الزائد هو عدد صحيح اصغر من مجموع قواسمه (باستثناء نفسه)، فمثلاً العدد 12 جميع قواسمه باستثناء نفسه هي 1,2,3,4,6 ومجموعها 16، وهو اكبر من العدد نفسه والزيادة هنا هي 6. والاعداد الزائدة هي جزء من عائلة الاعداد التي هي إما ناقصة (العدد الناقص عدد طبيعي اكبر من مجموع قواسمه مثل 10) أو زائدة (العكس) أو مثالية ( العدد المثالي عدد طبيعي يساوي مجموع قواسمة مثل 6).
– فقط 21 عددًا من الاعداد (1…100) هي اعداد زائدة.
– أصغر عدد فردي زائد هو 945.
– يوجد عدد لا نهائي من الاعداد الزائدة الفردية او الزوجية.
– لاتوجد اعداد اولية او شبه اولية زائدة.

الأعداد الجبرية

العدد الجبري هو عدد حقيقي او مركب يكون جذرًا لمعادلة كثيرة الحدود بالصيغة التالية:

بحيث المعاملات a,b,c,d,p,q هي اعداد صحيحة او كسرية.
– كل الأعداد النسبية هي أعداد جبرية بينما بعض الأعداد غير النسبية هي أعداد جبرية.

الاعداد الصديقة

عددان صديقان هما عددان مختلفان بحيث يكون مجموع القواسم النظيفة لأحد العددين يساوي العدد الثاني، والقواسم النظيفة لعدد ما هي القواسم الموجبة المختلفة عن العدد نفسه.
أصغر عددين صديقين هما 220 و 284 حيث أن قواسم العدد 220 هي 1 و2 و4 و5 و10 و11 و20 و22 و44 و55 و110 ومجموع هذه القواسم هو 284 أما قواسم العدد 284 فهي 1 و2 و4 و71 و142 ومجموعها هو 220.
من اوائل العلماء الذين تحدثوا عن الاعداد الصديقة هو العالم محمد باقر اليزدي وقد اعطى فكرة الاعداد الصديقة للعددين 9363584 و 9437056.
هناك العديد من الطرق الموجودة لتوليد الاعداد الصديقة ومنها طريقة العالم العربي ثابت بن قرة وبعدها جاءت قاعدة اويلر لتعميم قاعدة بن قرة.

•  قاعدة ثابت بن قرة

لقيم n الصحيحة الاكبر من الواحد، الاعداد الصديقة تأخذ الصيغة التالية:
 و 
حيث:

وحيث x,y,z اعداد اولية.
مثال: n=2 ينتج ان x=11 و y=5 و z=71 والتي هي اعداد اولية وبالتعويض بالقاعدة نحصل على العددين الصديقين 220 و 284 ولكن هذه الطريقة لا تنتج كل الاعداد الصديقة.
قاعدة اويلر:
 و 

حيث:

حيث x,y,z اعداد اولية وn,m اعداد صحيحة و n>m>0

رقم الوحش

الرقم 666
المعنى الحقيقي لهذا الرقم لا يزال غير معروف، ولكن الرقم نفسه يملك صفات تدعو للاهتمام.
– مجموع الاعداد 36 الاولى الموجبة يساوي 666.
– مجموع مربعات السبعة الارقام الاولية الاولى يساوي 666.
– 
– 
– كما يمكن كتابة هذا الرقم في مبرهنة فيثاغورس:

المصدر: الفضائيون

للمزيد»

براء إبراهيم شراري، أصغر عالم في الكون

منح علماء من أوروبا الطفل الفلسطيني "براء ابراهيم شراري" الذي يبلغ من العمر 8 سنوات درجة عالم، ليكون أصغر عالم في العالم، بعدما تمكن من إثبات نظرية جديدة في علم الرياضيات، تتلخص في اختزال عمليات الضرب الطويلة، ليتم حلها في ثوان معدودة ودون الحاجة الى القلم والورقة أو الحاسبة الآلية.

وقام ثلاثة من كبار علماء الرياضيات في بريطانيا وألمانيا وفرنسا باختبار النظرية تبين لهم أن الطفل براء يستحق لقب عالم لأن النظرية لم تعرف من قبل وبناء عليه قررت اللجنة اعطاءه لقب عالم في الرياضيات بسبب اكتشافه نظرية لم يسبقه أحد اليها، فيما قامت قامت جامعة "اكسفورد" البريطانية، بتبني موهبة "براء" العلمية ليكمل دراسته في الجامعة.

والطفل "براء" هو فلسطيني من مخيم عين الحلوة في لبنان عمره ثماني سنوات ويعيش مع أسرته في لندن منذ سنوات وهو يعد الآن أصغر عالم رياضيات في العالم وهو الابن الأكبر لأبراهيم الشراري الذي يعمل موظفاً في شركة بلندن.

وحسب والد "براء" فإن علامات النبوغ والابداع ظهرت عليه منذ نعومة أظافره، حين كان عمره نصف عام حيث تكلم بشكل لافت للنظر وبصورة أسرع كثيراً من أشقائه كما أنه كان يقوم بحركات وتصرفات تدل على مظاهر الإبداع والتفوق لديه، ما جعله محبوباً لدى أفراد أسرته وجيرانه وأقاربه.

ويقول الأب : إن براء كان منذ دخوله المدرسة يحب الأرقام ويقوم بعمليات جمع وضرب وقسمة وطرح سريعة جداً وبشكل مذهل إلى أن تم اكتشافه من قبل معلمة الرياضيات التي طالبت بوضعه في مدرسة خاصة بالموهوبين، ولأن ظروف الأسرة الاقتصادية لا تسمح بذلك بقي براء في مدرسته إلى أن توصل لهذه النظرية الرياضية الجديدة.

المصدر: موهوبون

للمزيد»

أرقام فيبوناتشي، وتواجدها في الطبيعة

متتالية فيبوناتشي من أشهر المتتاليات على الإطلاق، تم توظيفها في العديد من التطبيقات، منها تقنية فيبوناتشي للبحث، وفي الفوركس وغيرها، سنتعرف اليوم على بعض مظاهرها في الطبيعة

للمزيد»

لماذا نكره الرياضيات؟

في حقيقة الأمر إجابة هذا السؤال تتعلق بتاريخ كل واحد منا مع مادة الرياضيات منذ المرحلة الإبتدائية أو قبل ذلك، الأسباب لا تتعلق بالمادة في حد ذاتها بل في طريقة نظرنا إليها.

الرياضيات في مفهومها الأصلي هي مجموعة من تقنيات البرهنة التي تعتبر أداة فعالة لفهم العلوم الأخرى، فمنذ البدايات الأولى للإنسان في محاولته وضع تفسيرات للتغيرات التي تحدث حوله، سواء كانت تعاقب الليل والنهار، أو حركية الكواكب في السماء، أو تعاقب الفصول، أصبحت أدواته ترتقي شيئا فشيئا إلى أن وصلنا لمفاهيم مجردة كالجاذبية الكونية لنيوتن وتقعر الفضاء الزمني لإنشتاين. وهنا يأتي دور الرياضيات لتحويل هذه الحقائق العلمية المحيطة بنا إلى تمثلات داخل عقولنا.

على سبيل المثال: عندما نسمع للوهلة الأولى بالجاذبية الكونية، لا يسعنا تجسيدها على أرض الواقع لكونها مفهوما مجردا، ولكن بفضل العلاقات الرياضية التي تربط المقادير الفيزيائية المتعلقة بهذا المفهوم (الوزن، ثابتة الجاذبية الكونية، شدة مجال الثقالة، الكتلة…) تمكنا من فهم الجاذبية وكيف تؤثر على الأجسام المتواجدة حولنا.

لا بد من أن يكون تعلم الرياضيات مبكرا، يفتح شهية المتعلم للمضي قدما. لكن النظام التعليمي، كما يطبق اليوم، بعيد كل البعد عن ذلك. فعوض أن تكون الرياضيات تمارين فكرية ممتعة، أصبحت عائقا يعتبر كل من يتجاوزه ذكيا، هكذا أصبحت هذه المادة آداة للإنتقاء.

في كتابها "عمر القبطان" تطرقت "ستيلا باروك" إلى بعض الأخطاء المرتكبة من طرف المتعلمين في الرياضيات. فبعدما قُدمت لتلاميذ المرحلة الإبتدائية على أنها باحثة أتت من أجل تقييم مستواهم في الرياضيات، طرحت عليهم، وبجدية عالية، مسألة، كالآتي: "علما أن طول سفينة يبلغ 120 مترا، وتزن حمولتها 2000 طن. ما هو عمر القبطان إذن؟" ثلاثة أرباع تلامذة الصف الثاني، وأكثر من نصفهم في الصف الخامس، توصلوا إلى أجوبة عن طريق جمع (مع أنه من غير المنطقي جمع الكتلة والطول لأنهما مقدارين مختلفين وغير متجانسين)، ضرب أو قسمة الأعداد الواردة في نص المسألة،. وسواء أتوصلوا إلى نتيجة يكون فيها عمر القبطان ألف عام أو أقل من عشر سنوات، فإنهم لا يحتارون لأن ذلك "يسمى الرياضيات لا الواقع". وهذا ينم عن قلة الوعي في استخدام العمليات الرياضية.

ومن بين الأسباب التي تجعلنا نمقت الرياضيات:

– إقتناعنا بفكرة كون الرياضيات مادة صعبة، بعيدة عن الواقع مقارنة مع مادة الفيزياء مثلاً (وهذا ما نسمعه عادة في الوسط الدراسي).

– النظام التعليمي حول الرياضيات إلى مادة للإنتقاء، مملة، وخالية من روح التحدى.

– أننا نتعلم فقط في المدرسة أسس الرياضيات، ولا نتعلم كيف نكون مبتكرين. كما أن النظام التعليمي يؤول إلى توحيد الأدمغة. أفضل مثال على هذا هو العالم "كوصGauss"، فعندما كان في المرحلة الإبتدائية، كان يأمرهم الأستاذ بإنجاز عمليات حسابية طويلة ليستغرقوا وقتا، بينما ينعم ببعض الهدوء. طلب منهم حساب ما يلي: 100+……+2+1، الكل طبعا شرع في الحساب، إلا أن كوص بقي يتأمل العملية الحسابية مليا، ولاحظ أن عند جمع العددين الموجودين في الطرفين (101=100+1) نحصل على 101، وعند جمع 99 و 2 نحصل على نفس المجموع 101، وهكذا دواليك إلى أن وصل إلى 101=51+50، إذن نحصل على 101 خمسون مرة. و من ثم يحصل على 5050=50×101=100+…+3+2+1.  وهكذا تفوق كوص على زملائه، لأنه، وبكل بساطة، نظر إلى التمرين على أنه تحد ممتع، وحاول أن يفكر بطريقة مبتكرة وخارجة عن المألوف. ونحن اليوم نستعمل هذه الطريقة في الحسابيات دون أن نعرف مصدرها (1). هكذا يجب أن ننظر إلى الرياضيات "تحد ممتع". طبعا الفتى كوص دفع أستاذه للجنون.

الرياضيات ليست متاحة فقط لبعض العقول الموهوبة، بل هي متاحة للجميع لكن بشرط تعلم أسسها على النحو الصحيح، و لا داعي لنخدع أنفسنا بأن العباقرة هم وحدهم يجيدون الرياضيات. وختاما، وكما يقول "ديكارت" (العقل أعدل قسمة بين الناس).

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

للمزيد»