لغز متتالية الأعداد

سئمتم من الألغاز التي تقدم فقط للبراعم؟ حسنا، حان الوقت لتشغلوا  أدمغتكم في لغز الرياضيات لهذا الشهر. اللغز  مبني على سلسلة من الأرقام وضعها نيل سولان، عالم رياضيات مشهور بألغازه في التسلسلات كهذه.

يعد الويلزي ذو الخمسة والسبعين سنة، نيل سولان من أشهر علماء الرياضيات في عصرنا. في الأربعين سنة التي قضاها باحثا في مختبرات بيل، فاز بعدة جوائز لبحوثه في الإحصاء والبصريات وغيرها. هو مشهور بالموسوعة الأونلاين لتسلسلات الأرقام OEIS ويُلقّب “سلوان” من طرف مستخدميه.
سألنا نيل ليساعدنا على بناء لغز بناءا على تسلسل أرقام ليس في OEIS، وهذا ما حصلنا عليه :
السؤال الأول:
لنعتبر سلسلة الأعداد التالية:
13 – 26 – 2 – 4 – 6 – 3 – 9 – 12 – 8 – 10 – 5 – 15 – 18 – 14 – 7 – 21 – 24 – 16 …

على خلاف معظم دوال الرياضيات، ترتفع قيم السلسلة أعلاه، وتنخفض مثل دقّات القلب. هل بإمكانكم إيجاد القاعدة البسيطة وراء هذه السلسلة؟
أحب مثل هذه الألغاز لأنها ترينا جمال الرياضيات الخالص، معظم الرياضيات التي ندرسها في المدرسة تتضمن تطبيق قاعدة عامة أو معادلة على المسائل والتمارين لإيجاد الحل. هذه العملية تتطلب منطقا استنباطيا ننطلق خلاله من العام إلى الخاص. في السؤال أعلاه لدينا تسلسل أعداد خاص، وعليكم إيجاد قاعدة عامة، أي التفكير الاستقرائي.
المسائل التي تتطلب تفكيرا استقرائيا تتطلب نهجا مختلفا عن الاستنباطية التي نواجهها عادة. عليكم قضاء بعض الوقت في التلاعب بالأرقام في المعطيات، البحث عن أنماط وتجربة بعض القواعد المسبقة، الحل عادة سيأتي في لحظة “أها” أو “يوريكا”!
إن لم تأتكم تلك اللحظة السحرية، وتشعروا أنكم لا تقوموا بأي تقدم، لدينا ملاحظة قد تساعدكم.
انظروا لكل زوج من الأعداد المتجاورة في السلسلة. هل بينها أي قاسم مشترك؟
بمجرد أن تجدوا القاعدة وراء السلسلة. أنتم جاهزون للسؤال الثاني (إن لم تستطعوا الإجابة بعد بضعة أيام سننشر الحل)
السؤال الثاني:
هل تعتقدون أن كل عدد موجب أكبر من 1 سيظهر في هذه السلسلة، أم ستُتجاوز بعض الأعداد؟ أثبتوا جوابكم؟
وهنا سؤال قد يتطلب عملا أكير.
السؤال الثالث:
إلى متى ستستمر السلسلة لتصل إلى زوج أعداد متجاورين يتشاركان نفس العامل الأولي؟
وأخيرا، سؤال مخادع؛
السؤال الرابع:
لماذا تبدأ السلسلة بالرقم 13؟ (الأجوبة خارج الصندوق مرحّب بها)
بعد أيام سننشر الحلول.

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

[فكرة حل المتتالية: كل عدد لاحق هو أصغر عدد أكبر من 1 ويملك عاملا مشتركا مع العدد الذي يسبقه، ولا يوجد في المتتالية لحد الآن.]

للمزيد»

جمال الرياضيات: الثوابت ترسم لوحات فنية

هل سبق وزرت معرضًا للرياضيات؟ وهل تعرفت إلى فنانين تحملوا مشقة العمليات الرياضية لرسم لوحاتهم؟ ما رأيك بهذه اللوحات؟ هل يخطر ببالك أن رسمها استخدم عملية رياضية خوارزمية لتحويل رقم ما إلى هذا الشكل؟ المصممان كريستيان إليز فاسيل ومارتن كرزيفينسكي ابتكرا هذا العمل الفني بربط خانات للأعداد π و φ و e ببعضها البعض، مبتكرين لوحات فنية رائعة. سنشرح لكم في هذا المقال طريقة رسم هذه اللوحات الرائعة. ولكن قبل التطرق إلى العمل الفني بحد ذاته، ماهي هذه الأعداد السحرية؟
الرمز π هو رمز يوناني، من المصطلح أنه يشير ببساطة إلى النسبة بين محيط الدائرة وقطرها. يستخدم هذا العدد كثيرًا في الهندسة وهو عدد غير منتِه ×ليه يدور يساوي تقريبًا 3.141592654 . العدد الذهبي φ : الرمز φ هو رمز يوناني أيضًا. رياضيًا، يمثل عددًا غير منته يساوي تقريبًا 1.618033989 . العدد e : هو عدد غير منته يسمى عدد أولر (Euler's Number) أو العدد النبري. على العموم هو عدد هام جدًا في الرياضيات ويساوي تقريبًا 2.718281828 . كيف تحولت هذه الأعداد إلى لوحات؟

في البداية، كانت فكرة كريستيان إليز فاسيل بربط كل رقم من العدد π مع الرقم الذي يليه في العدد، والذي ينقله إلى موقع ما على الصورة... تبدأ اللوحة بإعطاء كل رقم شريحة أو قوس على دائرة ملونة، ثم البدء برسم خطوط تصل بين هذه الشرائح. هذه الخطوط تتميز بأنها تصل بين الشرائح ذات الأرقام الموافقة لخانات العدد π المتتالية. فتبدأ اللوحة من القطعة 3 ثم إلى 1 ثم 4 ثم 1 ...إلخ . كما أنها تحترم رتبة كل رقم العشرية، فمثًل يؤخذ الرقم 3 من بداية القطعة 3 بينما يؤخذ 1 من الجزء الثاني من القطعة 1 نظرًا لكونه من الرتبة العشرية وبدوره الرقم 4 ينزاح عن بداية القطعة 4 لأنه من رتبة عشرية أصغر وهكذا ..

عندما جاء مارتن كرزيفينسكي، أضاف إلى عمل فاسيل بأنه أظهر عدد الانتقالات التي وصلت إلى كل رقم من خلال رسم دوائر متراكبة فوق بعضها، رسم فيها نقاط ملونة حول كل قطعة، ويشير كل لون إلى اتصال هذه القطعة مع رقم آخر. كما أن هذه النقاط موزعة في حلقات، تعبر كل حلقة عن سلسة من أرقام العدد باي، فتكون الحلقة أولى لأول ألف رقم مثًلا وهكذا ..

ماذا كانت نتيجة هذه العملية؟ كانت النتيجة هي هذه اللوحة الفنية الرائعة التي تظهر انتقالات الأرقام في أول 1000 رقم من العدد π

ولا بد من الاعتراف بأن هذا التصميم يتعدى كونه مجرد لوحة فنية، بل يساعدك على تحليل هذا العدد من خلال نظرة سريعة إليه. كما أنك بعد الحلقات المرسومة حول القطع ستتمكن من اكتشاف عدد الأرقام المأخوذة بعين الاعتبار أثناء رسم اللوحة، فمثًلا بإعادة النظر إلى اللوحة ستستنتج بأن أول 1000 خانة تملك عددًا كبيرًا من الاتصالات 9-9 لوجود فقاعة كبيرة ضمن الحلقة الأولى وتحمل لون العدد 9 . هل اقتصرت هذه اللوحات على العدد π ؟ لم يقتصر ذلك أبدًا على π ، بل أجرى الفنانان آليات مماثلة لرسم العددين φ و e وكانت النتيجة هي اللوحات التالية..

وتظهر هذه اللوحة انتقال الأرقام في أول 1000 رقم من e :

أما لوحتنا الأخيرة فهي تظهر جميع الانتقالات لكل من الأرقام 9-0 في أول 2000 خانة من الأعداد π و φ و e معًا :

في النهاية، لا يسعنا إلا أن نذكر قول الفنانين: "مع أن اللوحات هي لأرقام مختلفة تمامًا، إلا أن اللوحات تبدو متشابهة بشكل مثير للدهشة !"، و هذا يدفعنا للتساؤل إن كانت هذه اللوحات ستفتح أفقًا جديدًا للتعرف على بعض خواص هذه الأعداد السحرية و علاقتها مع بعضها البعض..

نقلاً عن الباحثون السوريون http://www.syr-res.com/article/2636.html

للمزيد»

عندما يقوم آل سيمبسون بتعليم الرياضيات

يعتبر مسلسل The Simpsons من أكثر البرامج التلفزيونية متابعة من قبل أجيال عديدة، وهو بدون شك أكثر برنامج تلفزيوني معقد يحمل في طياته الكثير من الرسائل الخفية والسخرية اللاذعة، بالإضافة إلى الإشارة إلى رموز عالمية من شخصيات وشركات مختلفة. وإضافة إلى ما سبق ستفاجئ بأن هذا المسلسل يعتبر من أكثر المسلسلات الذي حوى على الرياضيات في حلقاته، وإن كنت لم تنتبه سابقا إلى ذلك فلا تشعر بالاحباط .. فالكثير من متابعي المسلسل لم ينتبهوا إلى هذا الأمر أيضا، أن وجود الرياضيات (و الرياضيات المعقدة أيضا) ليست مجرد ادعاء من شخص مهووس بالرياضيات وبمسلسل ”The Simpsons“ في نفس الوقت بل هذا ما يبدو بوضوح في العديد من الحلقات المميزة لهذا المسلسل الكوميدي الشهير.

أول مثال ممتاز على هذه الحلقات المميزة كان في سلسلة عام 1898 والتي احتوت على العديد من الاسس الرياضية (على شكل مزحات وعبارات كوميدية) وهي الحلقة المميزة (Tree house of Horror VI) حيث تم تقديم خمس دقائق كاملة من الرياضيات وهي أطول فترة من العبارات الرياضية تم تقديمها في مسلسل كوميدي وأيضا ان المسلسل قدم مشاهد وعبارات كوميدية تحوي مزحات غامضة ومبهمة حول نظرية فريمان والتي تعتبر من أعقد نظريات الرياضيات.

المثالين السابقين ما هما إلا اثنين من العديد الوافر من العبارات الكوميدية الرياضية المبهمة في المواسم العديدة من هذا المسلسل.

ان السبب الأساسي في وفرة الرياضيات في مسلسل سمسبون تعود إلى أن معّدي هذا المسلسل بالأساس مهووسو رياضيات Al Jean الذي عمل على إنتاج الموسم الأول من هدا المسلسل وهو الأن المخرج التنفيذي له درس الرياضيات في جامعة Harvard عندما كان في السادسة عشرة والعديد من أفراد فريق هذا المسلسل من الحاصلين على درجات علمية عديدة في الرياضيات وبعضهم يحمل شهادة الدكتوراه فيها فمثلا اJeff Westbrook استقال من منصب باحث خبير في جامعة Yale من أجل كتابة قصص هومر سيمبسون و مارج و بقية أفراد سبرينغ فيلد. عندما انتقل هؤلاء من الحياة الأكاديمية إلى استديوهات قناة FOX نقلوا معهم شغفهم بالارقام و تجلى ذلك بزرع بعض المزحات والعبارات الرياضية المبهمة في العديد من حلقات المسلسل.

حتى الأن لم يدرك إلا بعض مهووسي الرياضيات أن كّتاب المسلسل قامو بدّس الرياضيات في كتاباتهم بينما كان بقية الجمهور المتابع غافلا تماما عن نظريات الأرقام والعبارات الهندسية والايماءات الرياضية التي تم وضعها بشكل غامض ومسل في نفس الوقت في المسلسل.

سنقوم تباعا بعرض العديد من هذه الرياضات التي تم وضعها في المسلسل كنوع من المرح المزدوج بين المسلسل الرائع والرياضيات الأروع بنفس الوقت حيث سنقوم علاوة على الاشارة إلى موضع الرياضيات الذي تم تقديمها في المسلسل سنقوم بشرح الحقائق الرياضية التي وردت أيضا . انها لمتعة حقا الجمع بين شغف الرياضات و شغف هذا المسلسل ”The Simpsons“ العالمي

حلقة من سلسلة عام (2006) اسمها Marge and Homer Turn acouple play" احتوت هذه الحلقة على 3 جرعات سرية من الرياضيات ومختصر القصة الاجتماعية التي عرضت فيها الحلقة أن مارج وهومر يقومون بمساعدة لاعب البيسبول المشهور Buck Mitchell وزوجته Tabitha Vixx الذين يعانون من مشاكل وصعوبات في حياتهم الزوجية وتبلغ ذروة القصة عند ظهور Tabitha على شاشة عملاقة في استاد سبرينغ فيلد حيث تصرح بحبها لـBuck على مرأى الجمهور و الأهم من ذلك أنه مباشرة و قبل ظهورها على الشاشة يطرح على الشاشة نفسها سؤال لمعجبي البيسبول للتنبؤ بعدد الحاضرين في الملعب . الشاشة تقوم باظهار 3 أرقام كخيارات : الأرقام هي 8،191 و 8،208 و 8،128

إن المتابع يعتقد للوهلة الأولى أن الأرقام هي أرقام اعتباطية و لكن على العكس تماما تعتبر هذا الأرقام من أشهر الأرقام في عالم الرياضيات فهي على التسلسل عدد مثالي وعدد نرجسي وعدد أولي 8،128 يدعى بالعدد المثالي و ذلك لأنه يمكن الوصول إليه من خلال جمع نواتج القسمة منه فأصغر رقم مثالي هو 6 و ذلك لأن لرقم 6 قواسم 1 و 2 و 3 و ان جمع قواسمه تؤدي إلى العدد نفسه أي إلى رقم 6 الرقم المثالي الثاني 28 وذلك بسبب أن جمع قواسمه (14، 7 ،[4] ،2 ،1) [ملاحظة: ما يوجد بين [] هو من تعديل المدونة وليس من المقال الأصلي] يؤدي إلى الحصول على العدد نفسه وهو 28 الرقم المثالي الثالث هو 496 والرقم المثالي الرابع هو 8,128 و هو الذي ظهر في الحلقة وبحسب ما أشار Rene Descartes (رياضي و فيلسوف فرنسي في القرن 17): (أن الأرقام المثالية كالرجال المثاليين ... من النادر وجودهم ) 8,208 أما الرقم 8,208 فإنه في الحقيقة يسمى الرقم النرجسي أو بعبارة أخرى الرقم المحب لنفسه كيف ذلك؟؟ يسمى هذا النوع من الأرقام بالأرقام النرجسية أو الأرقام الفوق مثالية اوأرقام أرمسترونغ وذلك بسبب أنه يمكننا أن نصل إلى هذا الرقم من خلال جمع الأرقام المفردة في الأساس مرفوعة إلى قوة من عدد مراتب العدد نفسه. مثال على ذلك الرقم 153 هو رقم نرجسي مؤلف من 3 مراتب فلنحصل عليه نقوم بجمع 3 مع 5 مع 1 و كل منهما مرفوع إلى الأس 3 (عدد المراتب)

مثال أخر الرقم 92727 

و في مثالنا نجد الرقم 8208

أما العدد 8,191 فهو عدد أولي لانه لا يقبل القسمة إلا على الرقم 1 وعلى الرقم نفسه ويشار إلى الرقم 8,191 أيضا بانه رقم (مينسيري الأولي) لانه بحسب رياضي في القرن السابع عشر يدعى مارين مينسيري أشار إلى ان الرقم 8,191 مساو لـ 1-13^2 و هو ينتمي إلى مجموعة الأعداد (p-1^2) حيث p هو عدد أولي أيضا. إلى هنا نكتفي بهذه الجرعة من الرياضيات وهنا تعرفنا وبسبب حلقة واحدة من المرح على الأعداد المثالية والأعداد النرجسية وأيضا أعداد مينسيري الأولية وإلى مقالات أخرى تكشف عن خفايا الرياضيات في مسلسل ”The Simpsons“

نقلاً عن موقع الباحثون السوريون: http://www.syr-res.com/article/8310.html

للمزيد»