مثلث باسكال

                                      

مثلث باسكال هو أحد أمتع المتسلسلات (تم تسميته هكذا على اسم العالم الفرنسى بليز باسكال).

لبناء المُثلث كما هو مُوضح بالصورة:

• يبدأ الصف الأول برقم 1.
• بدايةً من الصف الثاني يبدأ الصف برقم 1 و ينتهى برقم 1.
• في الصف الثانى يقع رقم 2 بين رقم 1 ورقم 1.
• كل رقم هو مجموع الرقمين الأعلى منه.

نستطيع ملاحظة أن مجموع كل صف هو عبارة عن 2^(رقم الصف – 1)

كما نلاحظ أن كل صف هو عبارة عن رقم 11^(رقم الصف – 1 )

[تعديل على المقالة المترجمة في الباحثون المصريون: لا حظ الصف السادس 11⁵ والذي يليه، نحتاج إلى تداخل الأرقام حتى تستقيم القاعدة السابقة، كالتالي:]

                                               

أيضًا نلاحظ أن مربع أي رقم بالخط القُطري الثاني يساوي مجموع الرقم المجاور له + الرقم الواقع تحتهم.

إذا نظرنا الى مثلث باسكال نجد أنه متماثل، حيث أن نصفه الأيمن متطابق مع نصفه الأيسر.

                           

كَوِّن متسلسلة عبارة عن أول رقم فى الصف ثم خُذ الرقم الذي يقع فوق الرقم التالي وهكذا، ثم اجمعهم.

ستجد أن الناتج هو متسلسلة فيبونيتشي.

الباحثون المصريون

استخدامات مثلث باسكال:

أولاً في الاحتمالات:

عند إلقاء قطعة نقد ثلاث مرات، فإن  هناك طريقة واحدة للحصول على ثلاث صور وهي {ص ص ص}

ولكن هناك ثلاث طرق للحصول على صورتين وكتابة واحدة فقط وهي {ص ص ك، ص ك ص، ك ص ص} وهناك ثلاث طرق أخرى للحصول على كتابتين وصورة وهي {ك ك ص، ك ص ك، ص ك ك} وواحدة للحصول على ثلاث كتابات وهي {ك ك ك} وهذا بالضبط النمط الموجود في مثلث باسكال 1 ، 3 ،3 ، 1 في الصف الرابع، والجدول التالي يوضح بعض الأمثلة على ذلك علماً بأن H يشير إلى صورة، T يشير إلى كتابة:

عدد الرميات	النواتج الممكنة	مثلث باسكال
1	H T	1, 1
2	HH HT TH TT	1, 2, 1
3	HHH HHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TTT	1, 3, 3, 1
4	HHHH HHHT, HHTH, HTHH, THHH HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH HTTT, THTT, TTHT, TTTH TTTT	1, 4, 6, 4, 1
	... etc ...

مثال: ما احتمال الحصول على صورتين فقط عند رمي 4 قطع نقدية؟

هناك 1+4+6+4+1 = 16 أو (or 2⁴=16) نتيجة ممكنة و 6 منهم تعطي بالضبط صورتين فقط، فيكون احتمال الحصول على صورتين فقط عند رمي 4 قطع نقدية يساوي 6/16.

ثانياً: التوافيق:

مثال: لديك 16 كرة بلياردو، بكم طريقة يمكن اختيار ثلاث كرات منهم متجاهلاً الترتيب؟

الجواب: في مثلث باسكال اختار الصف السادس عشر (علماً بأن أول صف في مثلث باسكال يحمل الرقم 0) ثم في الصف السادس عشر الذي تجده قم بعد ثلاث أماكن (علماً بأن أول عدد في الصف يحمل الرقم 0) القيمة التي ستجدها هي عدد التوافيق التي تبحث عنها.

وهذا بالضبط ما ستجده:

1     16     120    560    1820   4368   ...

ثالثاً : معاملات كثيرات الحدود:

الأس	مفكوك ذات الحدين	مثلث باسكال
2	(x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1	1, 2, 1
3	(x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1	1, 3, 3, 1
4	(x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1	1, 4, 6, 4, 1
	... etc ...

 المصدر: ترجمة المدونة من Math is fun

للمزيد»

القسمة على صفر ليس لها معنى!

ليس لها معنى!

تساءلنا كثيرًا في صغرنا عن القسمة على الصفر فهل كانوا صادقين حينما أخبرونا أن القسمة على صفر ليس لها معنى؟ ولكن لماذا أخبرونا بعد ذلك أن الناتج هو كمية غير مُعرّفة؟

لا شك أن العدد صفر هو أحد الرموز المُقدسة في علم الرياضيات؛ فهو ذو طبيعة مختلفة عن باقي الأرقام، وينبغي أخذ الحذر معه كثيرًا. فكيف سيكون الحال مع القِسمة؟ لماذا لا يمكننا القسمة على الصفر؟ ولماذا لا يكون الناتج ببساطة هو∞؟ 

في الحقيقة ليس الأمر بهذه السهولة وسنوضح ذلك.

في البداية ينبغي مُراجعة بعض المفاهيم، فمثلًا الضرب هو في حقيقته عمليات جمع. فحينما نقول مثلًا 10*5 فنحن بالضرورة نعني أننا نجمع الخمسة 10مرات مع نفسها «5+5+5+5 +5+5+5+5+ 5+5». بينما القسمة على النقيض؛ فهي في حقيقتها عمليات طرح. فمثلًا حينما نقول 4/20 فنحن بالضرورة أيضًا نعني أننا نطرح 4 من العدد 20 في كل مرة 

20-4=16

16-4=12

12-4=8

8-4=4

4-4=0

نقوم بذلك 5 مرات ومن هنا يكون ناتج 5=4/20. ولكن إذا قسمنا على الصفر فهذا يعني طِبقًا لما ذُكِرَ أننا في كل مرة نطرح صفرًا من العدد. مرة أخرى =0/20

20-0=20

20-0=20

20-0=20

ونستمر على هذا الحال كلما طرحنا 0 من العدد20 نحصل على 20 مرةً أُخرى. إذًا يمكن من هنا استنتاج أن الناتج هو ∞ وهذا هو ما قد يتبادر إلى الأذهان.

ولكن هذه ليست القصة كاملةً. يجب هنا التنبيه على أن ∞ ليست بحد ذاتها رقمًا؛ فلا نتعامل معها من هذا المنطلق، وإنما ∞ هي فكرة.

وللتوضيح سنأخذ الدالة [الاقتران] التي تمثل كل قيم المتغيرة لمقلوب x ، وبإيجاد النهاية للدالة [الاقتران]عندما تقترب xمن ال 0 ، نجد أن lim(x→0)⁡1/x تساوي ∞ إذا يمكننا استنتاج أن 1/0=∞ . ولكن هذه ليست كل الحقيقة. فإذا مَثَّلنا الدالة [الاقتران] بيانيًا وبأخذx على المحور السيني، و مقلوب x على المحور الصادي، فعندما نقترب من قيمة ال 0 على المحور السيني، تزيد قيمة الدالة [الاقتران] على المحور الصادي حتى يمكن أن نقول أنها تساوي ∞. ولكن هذا فقط صحيح في حالة إذا كانت x تقترب من 0 من ناحية الأعداد المُوجبة. أما في حالة الأعداد السالبة، وعندما نقترب من 0 على المحور السيني، نجد أن قيمة الدالة [الاقتران] على المحور الصادي يمكن أن نقول أنها تساوي (∞-). رياضيا يمكننا التعبيرٍ عن كل الذي سبق باستخدام اللانهايات كالاتي :

lim(x→0^+)⁡1/x = +∞، وبأخذ النهاية اليُسرى يَنتج أن lim(x→ 0^- )⁡1/x = -∞، ومن هنا نجد أنه لا توجد قيمة واحدة للنهاية عند نفس النقطة؛ ولهذا فإن ناتج القسمة دائمًا غير معرف.

الباحثون المصريون

للمزيد»

صنع العالم من الرياضيات

استخدم العلماء منذ وقت طويل الرياضيات لوصف الخصائص الفيزيائية للكون، لكن ماذا لو كان الكون بنفسه مصنوعا من الرياضيات؟ هذا ما يعتقده عالم الكونيات “ماكس تاكمارك”، ففي نظر هذا الأخير، كل شيء في الكون، بما في ذلك الإنسان، هو جزء من بناء رياضي، وهو يتكون من عدة خصائص رياضية بحتة، فالفضاء نفسه له خصائص مثل الأبعاد، لكنه يبقى في النهاية بناء رياضيا.

يصرح العالم تاكمارك خلال محادثته ببيت “The Bell House” بالولايات المتحدة حول كتابه “Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality” (Knopf, 2014) : “إذا سلمنا بأن الفضاء وكل ما فيه لا يقبل أي خصائص إلا الخصائص الرياضية، فإن فكرة أن كل شيء رياضي تصبح مستساغة أكثر“، ويضيف: “إذا كانت فكرتي خاطئة، فإن الفيزياء ستهدم لا محالة، لكن إذا كان الكون بالفعل يتبع الرياضيات فإنه لا يوجد شيء لا يمكننا فهمه”

الطبيعة مليئة بالرياضيات

الطبيعة مليئة بالأشكال والتصاميم التي تتبع الرياضيات، مثل متسلسلة فيبوناتشي والتي هي عبارة عن مجموع الحدين السابقين من السلسلة:

 

فعلى سبيل المثال، صدفة الحلزون تتبع هذه السلسلة خلال نموها، لأن المسافة الفارقة بين كل فقرة وأخرى هي نسبة حدود متسلسلة فيبوناتشي في نفس التسلسل.

يتحرك العالم أيضا بطريقة رياضية، فإذا رميت بكرة التنس في الهواء فإن ستتبع مسارا إهليليجيا، تماما مثل الكواكب التي تدور حسب المدار نفسه.

ويضيف تاكمارك: “هناك الكثير من الأناقة البسيطة والجمال في الطبيعة تكشف عنها الأشكال الرياضية، والتي استطاعت عقولنا إدراكها“.

تُمكّن الرياضيات العلماء نظريا، من توقع كل ما يحدث في الكون من ملاحظات قياسات فيزيائية، ويشير تاكمارك أن الرياضيات هي التي مكنت من توقع وجود كوكب نبتون، والموجات الصوتية وجسيمات هيكز بوزون تشرح كيف أن الجسيمات الأخرى تحصل على كتلتها.ويعتقد معظم الناس أن الرياضيات مجرد أداة اخترعها العلماء لتفسير العالم، لكن تاكمارك يجادلهم في هذه النقطة بأن بنية الرياضيات الموجودة بالطبيعة تثبت أن الرياضيات موجودة في الواقع وليس فقط في عقول العلماء.

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

للمزيد»

لماذا ندرس الرياضيات (الجزء الثاني)

في الجزء السابق تعرفنا على دور العلوم وغاياتها منذ بداية نشأتها إلى يومنا هذا، وكيف نستعين بنماذج من الواقع لدراسته وفهمه جيدا، أي إننا نفهم ظاهرة معينة عن طريق نمذجتها من خلال نماذج معينة من أجل التوصل إلى قناعات حول الطاهرة المدروسة. إن ترجمة الملاحظات والاستنتاجات ومعطيات نوعية من الواقع إلى ” لغة علمية خاصة” تسمى الرياضيات، تهدف إلى الاستعانة بأدوات “رياضية ” قوية (خصائص، مبرهنات، تقنيات، استدلالات…) تتمتع بدقة عالية في التعامل مع المعطيات، تسمى النمذجة الرياضية، وبالمقابل يمكن ترجمة النتائج التي توصلنا إليها بطرق رياضية سليمة إلى تفاسير مقبولة في الواقع.

يقول ألبرت أينشتاين : “إن أحد الأسباب التي تعطي الرياضيات قيمةً خاصة فوق كل العلوم الأخرى هو أن قوانينها مطلقة الصحة ولا تقبل الجدل، في حين أن قوانين العلوم الأخرى تقبل الجدل إلى حدّ ما ومعرضة للتفنيذ بشكل مستمر بواسطة حقائق جديدة.”

فالعلوم بصفة عامة تدرس نماذج من الواقع، وهنا تتدخل الرياضيات  بقدرتها على تمثيل أي وضعية في الواقع، وبالتالي الاستفادة من ثمار العلوم الرياضية من أجل إثبات صحة نظريات تجريبية، أو صياغة قوانين مضبوطة، أوالتحقق من فرضيات معينة… بمعنى آخر فالرياضيات هي العلم الذي يمكننا من تحويل أو ترجمة حقيقة فزيائية معينة إلى نموذج مجرد قابل للدراسة والتحليل والتمحيص عبرحسابات دقيقة.

اذا قبلنا هذه الصورة عن الرياضيات، فإنها بذلك تمثل تقاطعا بين جميع العلوم والمجالات العلمية : الإعلاميات، الحساب المعلوماتي، العلوم الفزيائية، العلوم الطبيعية، الكمياء، الطب، الميكانيكا، البيولوجيا، الجيولوجيا، الهندسة المعمارية، الصيد البحري، علوم الاقتصاد، علوم المهندس، الصناعة، الملاحة الجوية، علم الطاقة، واللائحة طويلة جدا.

بدون الرياضيات سيكون من المستحيل إثبات أو دحض أي نظرية علمية، وبالتالي سيستحيل إحراز أي تقدم في مجال العلوم. حيث أغلب الدفعات والانجازات والبحوث والنظريات كان يعود الفضل فيها وبشكل كبير إلى الرياضيات …

إن العلوم تعتمد على الرياضيات بكل مستوياتها البسيطة والمتقدمة، من أجل حساب أصغر المقادير الكميائية في محلول معين أو حساب السرعة والقوة والتوقيت والمسار وغيرها من المعطيات… اللازمة كي يلحق مسبار روزيتا بالمذنب 67P.

لم يكن بإمكاننا توقع مسارات الكواكب واستكشاف الفضاء بدون الرياضيات، ولما استطعنا التنبؤ بتواريخ بعض الأحداث بدقة، ولا سارت سيارات ولا طارت طائرات ولا أبحرت باخرات. ولا كان بإمكاننا تشييد ناطحات سحاب، ولما تواصلنا عبر العالم في ثواني، بواسطة هواتف ذكية أو حواسيب، ولما كانت دبابات أو صواريخ…

فقط نظر من حولك : هندسة زجاجة قنينة الماء، سماعات الأذن، الحاسوب والهاتف في يدك، برامج التلفاز، المسمار الذي علقت عليه احدى اللوحات أو الصور، المائدة التي وضعت عليها حاجاتك، الورقة التي داخل دفترك، والقلم الذي تكتب به، والقماش الذي تلبسه… حتى أبسط الأشياء كاللعبة التي تلعبها على الجهاز الالكتروني لما كانت ممكتة بتاتا لولا الملايين من الحسابات المعقدة التي تنجز في الجزء من الثانية عبر جهازك.

أينما نظرت تجد فضل الرياضيات على العلوم خاصة والحياة اليومية عامة، ان الرياضيات من حولنا تتطور باستمرار لصالح العلوم ولصالح البشرية. أنتم أيضا يمكنكم البحث عن فضل الرياضيات وتجسدها في الأشياء من حولنا، أستمتعوا !

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

للمزيد»

لماذا ندرس الرياضيات (الجزء الأول)

كثير منا درس أو يدرس الرياضيات، منا من قد يعلم شيئا من أهميتها ويستغرب لهذا السؤال الذي قد يبدو له ساذجا؟ وكأنك تتساءل لما نتن

فس؟ حسسنا، لكن منا أيضا من لا يعلم أهمية هذا العلم ولما ندرسه منذ نعومة أصابعنا ولما يتم التأكيد على أهمية هذه المادة في مختلف مناهجنا التعليمية وخاصة في الشعب العلمية؟ ولماذا لا يمكنك أن تجد عالما فزيائيا؟ أو فلكيا؟ أو كميائيا؟ أو بيولوجيا؟ أو معلومياتيا؟ دون أي معرفة رياضية، هذا ان لم يكن متمرسا في الرياضيات. اذن للاجابة عن السؤال : “لماذا ندرس الرياضيات؟” يجب أن نتعرف أولا فضل الرياضيات على شكل الحياة الذي نعيشه اليوم ودورها كعلم واكب العصور وتطور من أجل خدمة العلوم الأخرى في سبيل فهم العالم والتحكم به ثم تسخيره لخدمة البشرية، كي لا نطيل عليكم سوف نتطرق الى الدور الأساسي الذي تلعبه الرياضيات في شتى المجالات العلمية والتي بلا شك تعلمون فضل العلوم على حياتنا اليومية.

منذ الأزل سعى الأنسان إلى التحكم في محيطه محاولا أقلمة بيئته وتسخيرها لصالحه، وذلك بما تمليه عليه غرائزه الطبيعية في البقاء والتكاثر والأمان، فوظف عقله لفهم واستيعاب محيطه شيئا فشيئا، فكان يلاحظ ويجرب ويستنتج ويتعلم، مكونا تصورات ساذجة وبسيطة تفسر الظواهر التي كان يعاين، فطورعبر التاريخ نظرته الساذجة والبسيطة لهذه الأشياء والظواهر التي تحيطه تدريجيا إلى تأويلات وفرضيات أكثر دقة وشمولية، وقد ساعد في ذللك عدة عوامل منها تطور الآليات العقلية وطرق التحليل والتفكير التي كان يستخدمها لتقصي الحقائق والتوصل إلى “فهم” دقيق ومضبوط – نسبيا – لما يراه، تجلت هذه الآاليات في علم الفلسفة وتياراتها الأمبيرية والراسيونالية ومناهج البحث العلمي والتجريبي وصولا إلى فروع علوم الحياة المعاصرة من بيولوجيا وجيولوجيا وعلوم فزيائية وكميائية…

في العلوم بصفة عامة نسعى أولا وأخيرا لفهم الكون و الظواهر الطبيعية التي تؤطرنا، فهما دقيقا انطلاقا من ماهو ملموس وصولا الى ما هو مجرد، وفي سبيل ذلك – في إطار العلوم – فنحن نتعامل مع “نماذج” من الحقيقة، وليس أبدا الحقيقة نفسها، أي نسعى إلى “نمذجة” الحقيقة لفهمها جيدا. قد يبدو الأمر بسيطا في مجمله إلا أن النجاح في وضع نموذج دقيق يمثل جزءا من واقع أو ظاهرة معينة نريد دراستها ليس بهذه البساطة.

” بدون أدنى شك، فان المنهجية الأكثر أهمية وصعوبة في المنهج العلمي، المرور من الملموس إلى المجرد، من الملاحظة إلى ترجمتها الرسمية. الشيء الذي يتطلب القدرة على استنباط تمثيل مبسط من العالم الحقيقي...” – النشرة الرسمية للتربية الوطنية بفرنسا سنة 1999

حاول الإنسان على مر تاريخ العلوم نمذجة ظواهر معينة، فكانت تتعاقب نماذج لنفس الظاهرة إما تحل الواحدة محل الأخرى لشموليتها ودقتها (نموذج بطليموس عن الكواكب ثم كبرنيك وكيبلر) وإما تأتي لتوضع جنبا لجنب مع النموذج السابق وذلك لأن كل نموذج يمثل جانبا من حقيقة الظاهرة المعينة ولا يتناقظان بل كل نموذج صالح حسب نوع ومبتغى الدراسة ( الضوء في نموذجه الجسيمي والموجي – نموذج هندسي لدراسة سقوط أشعة ضوئية ونموذج موجي لدراسة الانكسار كما يمكن أيضا أن نجد نماذج بغرض فهم الظاهرة في مستوى معين ويجب اللجوء إلى نموذج اشمل اذا ما أردنا فهم هذ الظاهرة بشكل أعمق (نموذج بور Bohr للذرة والذي يقف حده عند الفزياء الكيمومية، أو النموذج الهدروليكي للتيار الكهربائي رغم أنه يمكننا من تكوين صورة أولية عن التيار الكهربائي إلى أنه يبقى جد جد محدود لفهم الكهرباء ودراسة مختلف الظواهر المرتبطة بها)

إن أهمية النموذج تكمن في مدى دقته وقدرته على التنبأ، فالنموذج ثلاثي الوظيفة : ينبغي أن يصف، ويفسر، ثم يتنبأ بالحقيقة. فان لم يستطع التنبأ بالحقيقة بشكل دقيق أو ثبت تناقض عبر التجربة، فان النموذج يعد ضعيفا…

قد تتساءلون وما علاقة كل هذا بالرياضيات؟ حسن، في الجزء القادم سنتطرق إلى دور الرياضيات المحوري في عملية النمذجة هذه، وكيف لولا الرياضيات كعلم لكان من الصعب جدا حتى تصور العالم المعاصر كما نعيشه اليوم.

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

للمزيد»

لغز متتالية الأعداد

سئمتم من الألغاز التي تقدم فقط للبراعم؟ حسنا، حان الوقت لتشغلوا  أدمغتكم في لغز الرياضيات لهذا الشهر. اللغز  مبني على سلسلة من الأرقام وضعها نيل سولان، عالم رياضيات مشهور بألغازه في التسلسلات كهذه.

يعد الويلزي ذو الخمسة والسبعين سنة، نيل سولان من أشهر علماء الرياضيات في عصرنا. في الأربعين سنة التي قضاها باحثا في مختبرات بيل، فاز بعدة جوائز لبحوثه في الإحصاء والبصريات وغيرها. هو مشهور بالموسوعة الأونلاين لتسلسلات الأرقام OEIS ويُلقّب “سلوان” من طرف مستخدميه.
سألنا نيل ليساعدنا على بناء لغز بناءا على تسلسل أرقام ليس في OEIS، وهذا ما حصلنا عليه :
السؤال الأول:
لنعتبر سلسلة الأعداد التالية:
13 – 26 – 2 – 4 – 6 – 3 – 9 – 12 – 8 – 10 – 5 – 15 – 18 – 14 – 7 – 21 – 24 – 16 …

على خلاف معظم دوال الرياضيات، ترتفع قيم السلسلة أعلاه، وتنخفض مثل دقّات القلب. هل بإمكانكم إيجاد القاعدة البسيطة وراء هذه السلسلة؟
أحب مثل هذه الألغاز لأنها ترينا جمال الرياضيات الخالص، معظم الرياضيات التي ندرسها في المدرسة تتضمن تطبيق قاعدة عامة أو معادلة على المسائل والتمارين لإيجاد الحل. هذه العملية تتطلب منطقا استنباطيا ننطلق خلاله من العام إلى الخاص. في السؤال أعلاه لدينا تسلسل أعداد خاص، وعليكم إيجاد قاعدة عامة، أي التفكير الاستقرائي.
المسائل التي تتطلب تفكيرا استقرائيا تتطلب نهجا مختلفا عن الاستنباطية التي نواجهها عادة. عليكم قضاء بعض الوقت في التلاعب بالأرقام في المعطيات، البحث عن أنماط وتجربة بعض القواعد المسبقة، الحل عادة سيأتي في لحظة “أها” أو “يوريكا”!
إن لم تأتكم تلك اللحظة السحرية، وتشعروا أنكم لا تقوموا بأي تقدم، لدينا ملاحظة قد تساعدكم.
انظروا لكل زوج من الأعداد المتجاورة في السلسلة. هل بينها أي قاسم مشترك؟
بمجرد أن تجدوا القاعدة وراء السلسلة. أنتم جاهزون للسؤال الثاني (إن لم تستطعوا الإجابة بعد بضعة أيام سننشر الحل)
السؤال الثاني:
هل تعتقدون أن كل عدد موجب أكبر من 1 سيظهر في هذه السلسلة، أم ستُتجاوز بعض الأعداد؟ أثبتوا جوابكم؟
وهنا سؤال قد يتطلب عملا أكير.
السؤال الثالث:
إلى متى ستستمر السلسلة لتصل إلى زوج أعداد متجاورين يتشاركان نفس العامل الأولي؟
وأخيرا، سؤال مخادع؛
السؤال الرابع:
لماذا تبدأ السلسلة بالرقم 13؟ (الأجوبة خارج الصندوق مرحّب بها)
بعد أيام سننشر الحلول.

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

[فكرة حل المتتالية: كل عدد لاحق هو أصغر عدد أكبر من 1 ويملك عاملا مشتركا مع العدد الذي يسبقه، ولا يوجد في المتتالية لحد الآن.]

للمزيد»