مثلث باسكال

                                      

مثلث باسكال هو أحد أمتع المتسلسلات (تم تسميته هكذا على اسم العالم الفرنسى بليز باسكال).

لبناء المُثلث كما هو مُوضح بالصورة:

• يبدأ الصف الأول برقم 1.
• بدايةً من الصف الثاني يبدأ الصف برقم 1 و ينتهى برقم 1.
• في الصف الثانى يقع رقم 2 بين رقم 1 ورقم 1.
• كل رقم هو مجموع الرقمين الأعلى منه.

نستطيع ملاحظة أن مجموع كل صف هو عبارة عن 2^(رقم الصف – 1)

كما نلاحظ أن كل صف هو عبارة عن رقم 11^(رقم الصف – 1 )

[تعديل على المقالة المترجمة في الباحثون المصريون: لا حظ الصف السادس 11⁵ والذي يليه، نحتاج إلى تداخل الأرقام حتى تستقيم القاعدة السابقة، كالتالي:]

                                               

أيضًا نلاحظ أن مربع أي رقم بالخط القُطري الثاني يساوي مجموع الرقم المجاور له + الرقم الواقع تحتهم.

إذا نظرنا الى مثلث باسكال نجد أنه متماثل، حيث أن نصفه الأيمن متطابق مع نصفه الأيسر.

                           

كَوِّن متسلسلة عبارة عن أول رقم فى الصف ثم خُذ الرقم الذي يقع فوق الرقم التالي وهكذا، ثم اجمعهم.

ستجد أن الناتج هو متسلسلة فيبونيتشي.

الباحثون المصريون

استخدامات مثلث باسكال:

أولاً في الاحتمالات:

عند إلقاء قطعة نقد ثلاث مرات، فإن  هناك طريقة واحدة للحصول على ثلاث صور وهي {ص ص ص}

ولكن هناك ثلاث طرق للحصول على صورتين وكتابة واحدة فقط وهي {ص ص ك، ص ك ص، ك ص ص} وهناك ثلاث طرق أخرى للحصول على كتابتين وصورة وهي {ك ك ص، ك ص ك، ص ك ك} وواحدة للحصول على ثلاث كتابات وهي {ك ك ك} وهذا بالضبط النمط الموجود في مثلث باسكال 1 ، 3 ،3 ، 1 في الصف الرابع، والجدول التالي يوضح بعض الأمثلة على ذلك علماً بأن H يشير إلى صورة، T يشير إلى كتابة:

عدد الرميات	النواتج الممكنة	مثلث باسكال
1	H T	1, 1
2	HH HT TH TT	1, 2, 1
3	HHH HHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TTT	1, 3, 3, 1
4	HHHH HHHT, HHTH, HTHH, THHH HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH HTTT, THTT, TTHT, TTTH TTTT	1, 4, 6, 4, 1
	... etc ...

مثال: ما احتمال الحصول على صورتين فقط عند رمي 4 قطع نقدية؟

هناك 1+4+6+4+1 = 16 أو (or 2⁴=16) نتيجة ممكنة و 6 منهم تعطي بالضبط صورتين فقط، فيكون احتمال الحصول على صورتين فقط عند رمي 4 قطع نقدية يساوي 6/16.

ثانياً: التوافيق:

مثال: لديك 16 كرة بلياردو، بكم طريقة يمكن اختيار ثلاث كرات منهم متجاهلاً الترتيب؟

الجواب: في مثلث باسكال اختار الصف السادس عشر (علماً بأن أول صف في مثلث باسكال يحمل الرقم 0) ثم في الصف السادس عشر الذي تجده قم بعد ثلاث أماكن (علماً بأن أول عدد في الصف يحمل الرقم 0) القيمة التي ستجدها هي عدد التوافيق التي تبحث عنها.

وهذا بالضبط ما ستجده:

1     16     120    560    1820   4368   ...

ثالثاً : معاملات كثيرات الحدود:

الأس	مفكوك ذات الحدين	مثلث باسكال
2	(x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1	1, 2, 1
3	(x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1	1, 3, 3, 1
4	(x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1	1, 4, 6, 4, 1
	... etc ...

 المصدر: ترجمة المدونة من Math is fun

للمزيد»

القسمة على صفر ليس لها معنى!

ليس لها معنى!

تساءلنا كثيرًا في صغرنا عن القسمة على الصفر فهل كانوا صادقين حينما أخبرونا أن القسمة على صفر ليس لها معنى؟ ولكن لماذا أخبرونا بعد ذلك أن الناتج هو كمية غير مُعرّفة؟

لا شك أن العدد صفر هو أحد الرموز المُقدسة في علم الرياضيات؛ فهو ذو طبيعة مختلفة عن باقي الأرقام، وينبغي أخذ الحذر معه كثيرًا. فكيف سيكون الحال مع القِسمة؟ لماذا لا يمكننا القسمة على الصفر؟ ولماذا لا يكون الناتج ببساطة هو∞؟ 

في الحقيقة ليس الأمر بهذه السهولة وسنوضح ذلك.

في البداية ينبغي مُراجعة بعض المفاهيم، فمثلًا الضرب هو في حقيقته عمليات جمع. فحينما نقول مثلًا 10*5 فنحن بالضرورة نعني أننا نجمع الخمسة 10مرات مع نفسها «5+5+5+5 +5+5+5+5+ 5+5». بينما القسمة على النقيض؛ فهي في حقيقتها عمليات طرح. فمثلًا حينما نقول 4/20 فنحن بالضرورة أيضًا نعني أننا نطرح 4 من العدد 20 في كل مرة 

20-4=16

16-4=12

12-4=8

8-4=4

4-4=0

نقوم بذلك 5 مرات ومن هنا يكون ناتج 5=4/20. ولكن إذا قسمنا على الصفر فهذا يعني طِبقًا لما ذُكِرَ أننا في كل مرة نطرح صفرًا من العدد. مرة أخرى =0/20

20-0=20

20-0=20

20-0=20

ونستمر على هذا الحال كلما طرحنا 0 من العدد20 نحصل على 20 مرةً أُخرى. إذًا يمكن من هنا استنتاج أن الناتج هو ∞ وهذا هو ما قد يتبادر إلى الأذهان.

ولكن هذه ليست القصة كاملةً. يجب هنا التنبيه على أن ∞ ليست بحد ذاتها رقمًا؛ فلا نتعامل معها من هذا المنطلق، وإنما ∞ هي فكرة.

وللتوضيح سنأخذ الدالة [الاقتران] التي تمثل كل قيم المتغيرة لمقلوب x ، وبإيجاد النهاية للدالة [الاقتران]عندما تقترب xمن ال 0 ، نجد أن lim(x→0)⁡1/x تساوي ∞ إذا يمكننا استنتاج أن 1/0=∞ . ولكن هذه ليست كل الحقيقة. فإذا مَثَّلنا الدالة [الاقتران] بيانيًا وبأخذx على المحور السيني، و مقلوب x على المحور الصادي، فعندما نقترب من قيمة ال 0 على المحور السيني، تزيد قيمة الدالة [الاقتران] على المحور الصادي حتى يمكن أن نقول أنها تساوي ∞. ولكن هذا فقط صحيح في حالة إذا كانت x تقترب من 0 من ناحية الأعداد المُوجبة. أما في حالة الأعداد السالبة، وعندما نقترب من 0 على المحور السيني، نجد أن قيمة الدالة [الاقتران] على المحور الصادي يمكن أن نقول أنها تساوي (∞-). رياضيا يمكننا التعبيرٍ عن كل الذي سبق باستخدام اللانهايات كالاتي :

lim(x→0^+)⁡1/x = +∞، وبأخذ النهاية اليُسرى يَنتج أن lim(x→ 0^- )⁡1/x = -∞، ومن هنا نجد أنه لا توجد قيمة واحدة للنهاية عند نفس النقطة؛ ولهذا فإن ناتج القسمة دائمًا غير معرف.

الباحثون المصريون

للمزيد»

صنع العالم من الرياضيات

استخدم العلماء منذ وقت طويل الرياضيات لوصف الخصائص الفيزيائية للكون، لكن ماذا لو كان الكون بنفسه مصنوعا من الرياضيات؟ هذا ما يعتقده عالم الكونيات “ماكس تاكمارك”، ففي نظر هذا الأخير، كل شيء في الكون، بما في ذلك الإنسان، هو جزء من بناء رياضي، وهو يتكون من عدة خصائص رياضية بحتة، فالفضاء نفسه له خصائص مثل الأبعاد، لكنه يبقى في النهاية بناء رياضيا.

يصرح العالم تاكمارك خلال محادثته ببيت “The Bell House” بالولايات المتحدة حول كتابه “Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality” (Knopf, 2014) : “إذا سلمنا بأن الفضاء وكل ما فيه لا يقبل أي خصائص إلا الخصائص الرياضية، فإن فكرة أن كل شيء رياضي تصبح مستساغة أكثر“، ويضيف: “إذا كانت فكرتي خاطئة، فإن الفيزياء ستهدم لا محالة، لكن إذا كان الكون بالفعل يتبع الرياضيات فإنه لا يوجد شيء لا يمكننا فهمه”

الطبيعة مليئة بالرياضيات

الطبيعة مليئة بالأشكال والتصاميم التي تتبع الرياضيات، مثل متسلسلة فيبوناتشي والتي هي عبارة عن مجموع الحدين السابقين من السلسلة:

 

فعلى سبيل المثال، صدفة الحلزون تتبع هذه السلسلة خلال نموها، لأن المسافة الفارقة بين كل فقرة وأخرى هي نسبة حدود متسلسلة فيبوناتشي في نفس التسلسل.

يتحرك العالم أيضا بطريقة رياضية، فإذا رميت بكرة التنس في الهواء فإن ستتبع مسارا إهليليجيا، تماما مثل الكواكب التي تدور حسب المدار نفسه.

ويضيف تاكمارك: “هناك الكثير من الأناقة البسيطة والجمال في الطبيعة تكشف عنها الأشكال الرياضية، والتي استطاعت عقولنا إدراكها“.

تُمكّن الرياضيات العلماء نظريا، من توقع كل ما يحدث في الكون من ملاحظات قياسات فيزيائية، ويشير تاكمارك أن الرياضيات هي التي مكنت من توقع وجود كوكب نبتون، والموجات الصوتية وجسيمات هيكز بوزون تشرح كيف أن الجسيمات الأخرى تحصل على كتلتها.ويعتقد معظم الناس أن الرياضيات مجرد أداة اخترعها العلماء لتفسير العالم، لكن تاكمارك يجادلهم في هذه النقطة بأن بنية الرياضيات الموجودة بالطبيعة تثبت أن الرياضيات موجودة في الواقع وليس فقط في عقول العلماء.

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

للمزيد»

لماذا ندرس الرياضيات (الجزء الثاني)

في الجزء السابق تعرفنا على دور العلوم وغاياتها منذ بداية نشأتها إلى يومنا هذا، وكيف نستعين بنماذج من الواقع لدراسته وفهمه جيدا، أي إننا نفهم ظاهرة معينة عن طريق نمذجتها من خلال نماذج معينة من أجل التوصل إلى قناعات حول الطاهرة المدروسة. إن ترجمة الملاحظات والاستنتاجات ومعطيات نوعية من الواقع إلى ” لغة علمية خاصة” تسمى الرياضيات، تهدف إلى الاستعانة بأدوات “رياضية ” قوية (خصائص، مبرهنات، تقنيات، استدلالات…) تتمتع بدقة عالية في التعامل مع المعطيات، تسمى النمذجة الرياضية، وبالمقابل يمكن ترجمة النتائج التي توصلنا إليها بطرق رياضية سليمة إلى تفاسير مقبولة في الواقع.

يقول ألبرت أينشتاين : “إن أحد الأسباب التي تعطي الرياضيات قيمةً خاصة فوق كل العلوم الأخرى هو أن قوانينها مطلقة الصحة ولا تقبل الجدل، في حين أن قوانين العلوم الأخرى تقبل الجدل إلى حدّ ما ومعرضة للتفنيذ بشكل مستمر بواسطة حقائق جديدة.”

فالعلوم بصفة عامة تدرس نماذج من الواقع، وهنا تتدخل الرياضيات  بقدرتها على تمثيل أي وضعية في الواقع، وبالتالي الاستفادة من ثمار العلوم الرياضية من أجل إثبات صحة نظريات تجريبية، أو صياغة قوانين مضبوطة، أوالتحقق من فرضيات معينة… بمعنى آخر فالرياضيات هي العلم الذي يمكننا من تحويل أو ترجمة حقيقة فزيائية معينة إلى نموذج مجرد قابل للدراسة والتحليل والتمحيص عبرحسابات دقيقة.

اذا قبلنا هذه الصورة عن الرياضيات، فإنها بذلك تمثل تقاطعا بين جميع العلوم والمجالات العلمية : الإعلاميات، الحساب المعلوماتي، العلوم الفزيائية، العلوم الطبيعية، الكمياء، الطب، الميكانيكا، البيولوجيا، الجيولوجيا، الهندسة المعمارية، الصيد البحري، علوم الاقتصاد، علوم المهندس، الصناعة، الملاحة الجوية، علم الطاقة، واللائحة طويلة جدا.

بدون الرياضيات سيكون من المستحيل إثبات أو دحض أي نظرية علمية، وبالتالي سيستحيل إحراز أي تقدم في مجال العلوم. حيث أغلب الدفعات والانجازات والبحوث والنظريات كان يعود الفضل فيها وبشكل كبير إلى الرياضيات …

إن العلوم تعتمد على الرياضيات بكل مستوياتها البسيطة والمتقدمة، من أجل حساب أصغر المقادير الكميائية في محلول معين أو حساب السرعة والقوة والتوقيت والمسار وغيرها من المعطيات… اللازمة كي يلحق مسبار روزيتا بالمذنب 67P.

لم يكن بإمكاننا توقع مسارات الكواكب واستكشاف الفضاء بدون الرياضيات، ولما استطعنا التنبؤ بتواريخ بعض الأحداث بدقة، ولا سارت سيارات ولا طارت طائرات ولا أبحرت باخرات. ولا كان بإمكاننا تشييد ناطحات سحاب، ولما تواصلنا عبر العالم في ثواني، بواسطة هواتف ذكية أو حواسيب، ولما كانت دبابات أو صواريخ…

فقط نظر من حولك : هندسة زجاجة قنينة الماء، سماعات الأذن، الحاسوب والهاتف في يدك، برامج التلفاز، المسمار الذي علقت عليه احدى اللوحات أو الصور، المائدة التي وضعت عليها حاجاتك، الورقة التي داخل دفترك، والقلم الذي تكتب به، والقماش الذي تلبسه… حتى أبسط الأشياء كاللعبة التي تلعبها على الجهاز الالكتروني لما كانت ممكتة بتاتا لولا الملايين من الحسابات المعقدة التي تنجز في الجزء من الثانية عبر جهازك.

أينما نظرت تجد فضل الرياضيات على العلوم خاصة والحياة اليومية عامة، ان الرياضيات من حولنا تتطور باستمرار لصالح العلوم ولصالح البشرية. أنتم أيضا يمكنكم البحث عن فضل الرياضيات وتجسدها في الأشياء من حولنا، أستمتعوا !

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

للمزيد»

لماذا ندرس الرياضيات (الجزء الأول)

كثير منا درس أو يدرس الرياضيات، منا من قد يعلم شيئا من أهميتها ويستغرب لهذا السؤال الذي قد يبدو له ساذجا؟ وكأنك تتساءل لما نتن

فس؟ حسسنا، لكن منا أيضا من لا يعلم أهمية هذا العلم ولما ندرسه منذ نعومة أصابعنا ولما يتم التأكيد على أهمية هذه المادة في مختلف مناهجنا التعليمية وخاصة في الشعب العلمية؟ ولماذا لا يمكنك أن تجد عالما فزيائيا؟ أو فلكيا؟ أو كميائيا؟ أو بيولوجيا؟ أو معلومياتيا؟ دون أي معرفة رياضية، هذا ان لم يكن متمرسا في الرياضيات. اذن للاجابة عن السؤال : “لماذا ندرس الرياضيات؟” يجب أن نتعرف أولا فضل الرياضيات على شكل الحياة الذي نعيشه اليوم ودورها كعلم واكب العصور وتطور من أجل خدمة العلوم الأخرى في سبيل فهم العالم والتحكم به ثم تسخيره لخدمة البشرية، كي لا نطيل عليكم سوف نتطرق الى الدور الأساسي الذي تلعبه الرياضيات في شتى المجالات العلمية والتي بلا شك تعلمون فضل العلوم على حياتنا اليومية.

منذ الأزل سعى الأنسان إلى التحكم في محيطه محاولا أقلمة بيئته وتسخيرها لصالحه، وذلك بما تمليه عليه غرائزه الطبيعية في البقاء والتكاثر والأمان، فوظف عقله لفهم واستيعاب محيطه شيئا فشيئا، فكان يلاحظ ويجرب ويستنتج ويتعلم، مكونا تصورات ساذجة وبسيطة تفسر الظواهر التي كان يعاين، فطورعبر التاريخ نظرته الساذجة والبسيطة لهذه الأشياء والظواهر التي تحيطه تدريجيا إلى تأويلات وفرضيات أكثر دقة وشمولية، وقد ساعد في ذللك عدة عوامل منها تطور الآليات العقلية وطرق التحليل والتفكير التي كان يستخدمها لتقصي الحقائق والتوصل إلى “فهم” دقيق ومضبوط – نسبيا – لما يراه، تجلت هذه الآاليات في علم الفلسفة وتياراتها الأمبيرية والراسيونالية ومناهج البحث العلمي والتجريبي وصولا إلى فروع علوم الحياة المعاصرة من بيولوجيا وجيولوجيا وعلوم فزيائية وكميائية…

في العلوم بصفة عامة نسعى أولا وأخيرا لفهم الكون و الظواهر الطبيعية التي تؤطرنا، فهما دقيقا انطلاقا من ماهو ملموس وصولا الى ما هو مجرد، وفي سبيل ذلك – في إطار العلوم – فنحن نتعامل مع “نماذج” من الحقيقة، وليس أبدا الحقيقة نفسها، أي نسعى إلى “نمذجة” الحقيقة لفهمها جيدا. قد يبدو الأمر بسيطا في مجمله إلا أن النجاح في وضع نموذج دقيق يمثل جزءا من واقع أو ظاهرة معينة نريد دراستها ليس بهذه البساطة.

” بدون أدنى شك، فان المنهجية الأكثر أهمية وصعوبة في المنهج العلمي، المرور من الملموس إلى المجرد، من الملاحظة إلى ترجمتها الرسمية. الشيء الذي يتطلب القدرة على استنباط تمثيل مبسط من العالم الحقيقي...” – النشرة الرسمية للتربية الوطنية بفرنسا سنة 1999

حاول الإنسان على مر تاريخ العلوم نمذجة ظواهر معينة، فكانت تتعاقب نماذج لنفس الظاهرة إما تحل الواحدة محل الأخرى لشموليتها ودقتها (نموذج بطليموس عن الكواكب ثم كبرنيك وكيبلر) وإما تأتي لتوضع جنبا لجنب مع النموذج السابق وذلك لأن كل نموذج يمثل جانبا من حقيقة الظاهرة المعينة ولا يتناقظان بل كل نموذج صالح حسب نوع ومبتغى الدراسة ( الضوء في نموذجه الجسيمي والموجي – نموذج هندسي لدراسة سقوط أشعة ضوئية ونموذج موجي لدراسة الانكسار كما يمكن أيضا أن نجد نماذج بغرض فهم الظاهرة في مستوى معين ويجب اللجوء إلى نموذج اشمل اذا ما أردنا فهم هذ الظاهرة بشكل أعمق (نموذج بور Bohr للذرة والذي يقف حده عند الفزياء الكيمومية، أو النموذج الهدروليكي للتيار الكهربائي رغم أنه يمكننا من تكوين صورة أولية عن التيار الكهربائي إلى أنه يبقى جد جد محدود لفهم الكهرباء ودراسة مختلف الظواهر المرتبطة بها)

إن أهمية النموذج تكمن في مدى دقته وقدرته على التنبأ، فالنموذج ثلاثي الوظيفة : ينبغي أن يصف، ويفسر، ثم يتنبأ بالحقيقة. فان لم يستطع التنبأ بالحقيقة بشكل دقيق أو ثبت تناقض عبر التجربة، فان النموذج يعد ضعيفا…

قد تتساءلون وما علاقة كل هذا بالرياضيات؟ حسن، في الجزء القادم سنتطرق إلى دور الرياضيات المحوري في عملية النمذجة هذه، وكيف لولا الرياضيات كعلم لكان من الصعب جدا حتى تصور العالم المعاصر كما نعيشه اليوم.

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

للمزيد»

لغز متتالية الأعداد

سئمتم من الألغاز التي تقدم فقط للبراعم؟ حسنا، حان الوقت لتشغلوا  أدمغتكم في لغز الرياضيات لهذا الشهر. اللغز  مبني على سلسلة من الأرقام وضعها نيل سولان، عالم رياضيات مشهور بألغازه في التسلسلات كهذه.

يعد الويلزي ذو الخمسة والسبعين سنة، نيل سولان من أشهر علماء الرياضيات في عصرنا. في الأربعين سنة التي قضاها باحثا في مختبرات بيل، فاز بعدة جوائز لبحوثه في الإحصاء والبصريات وغيرها. هو مشهور بالموسوعة الأونلاين لتسلسلات الأرقام OEIS ويُلقّب “سلوان” من طرف مستخدميه.
سألنا نيل ليساعدنا على بناء لغز بناءا على تسلسل أرقام ليس في OEIS، وهذا ما حصلنا عليه :
السؤال الأول:
لنعتبر سلسلة الأعداد التالية:
13 – 26 – 2 – 4 – 6 – 3 – 9 – 12 – 8 – 10 – 5 – 15 – 18 – 14 – 7 – 21 – 24 – 16 …

على خلاف معظم دوال الرياضيات، ترتفع قيم السلسلة أعلاه، وتنخفض مثل دقّات القلب. هل بإمكانكم إيجاد القاعدة البسيطة وراء هذه السلسلة؟
أحب مثل هذه الألغاز لأنها ترينا جمال الرياضيات الخالص، معظم الرياضيات التي ندرسها في المدرسة تتضمن تطبيق قاعدة عامة أو معادلة على المسائل والتمارين لإيجاد الحل. هذه العملية تتطلب منطقا استنباطيا ننطلق خلاله من العام إلى الخاص. في السؤال أعلاه لدينا تسلسل أعداد خاص، وعليكم إيجاد قاعدة عامة، أي التفكير الاستقرائي.
المسائل التي تتطلب تفكيرا استقرائيا تتطلب نهجا مختلفا عن الاستنباطية التي نواجهها عادة. عليكم قضاء بعض الوقت في التلاعب بالأرقام في المعطيات، البحث عن أنماط وتجربة بعض القواعد المسبقة، الحل عادة سيأتي في لحظة “أها” أو “يوريكا”!
إن لم تأتكم تلك اللحظة السحرية، وتشعروا أنكم لا تقوموا بأي تقدم، لدينا ملاحظة قد تساعدكم.
انظروا لكل زوج من الأعداد المتجاورة في السلسلة. هل بينها أي قاسم مشترك؟
بمجرد أن تجدوا القاعدة وراء السلسلة. أنتم جاهزون للسؤال الثاني (إن لم تستطعوا الإجابة بعد بضعة أيام سننشر الحل)
السؤال الثاني:
هل تعتقدون أن كل عدد موجب أكبر من 1 سيظهر في هذه السلسلة، أم ستُتجاوز بعض الأعداد؟ أثبتوا جوابكم؟
وهنا سؤال قد يتطلب عملا أكير.
السؤال الثالث:
إلى متى ستستمر السلسلة لتصل إلى زوج أعداد متجاورين يتشاركان نفس العامل الأولي؟
وأخيرا، سؤال مخادع؛
السؤال الرابع:
لماذا تبدأ السلسلة بالرقم 13؟ (الأجوبة خارج الصندوق مرحّب بها)
بعد أيام سننشر الحلول.

المصدر: المجتمع العلمي المغربي

[فكرة حل المتتالية: كل عدد لاحق هو أصغر عدد أكبر من 1 ويملك عاملا مشتركا مع العدد الذي يسبقه، ولا يوجد في المتتالية لحد الآن.]

للمزيد»

متسلسلة فورييه، حين يكون لجمال الأصوات سرّ رياضيّ!

انتشر مؤخرًا العديد من مقاطع الفيديو التي تعرض أشخاصًا يسمعون لأول مّرة، لاشك أنها تجربة إنسانية مميزة.
هل تعلم أن الرياضيات ساهمت في هذا؟
إن الأصوات التي نسمعها بشكل يومي والتي أغلبها أصوات مركبة (تحتوي على ترددات مختلفة) يمكن تحليلها لمكونات بسيطة (Pure tunes) لكل منها تردد وسعة معينة.
هذه المكونات البسيطة يمكن تمثيلها كتوابع جيبية (استنادًا لتردداتها)، فعلى سبيل المثال لدينا في الشكل التالي :

كل صوت مركب خلال فترة من الزمن تساوي 0.2 ثانية، يمكن تحليله لأمواج جيبية، حيث أن كل موجة لها سعتها ومداها المناسبان:
[في الشكل السابق]
1- موجة جيببة ذات سعة a وتردد 100 هرتز.
 2- موجة جيبية ذات سعة b وتردد 200 هرتز.
3- موجة جيبية ذات سعة c وتردد 300 هرتز.
لاحظ أن الصوت الأصلي المركب ينتج من دمج هذه الأمواج البسيطة السابقة جميعًا.
هذا النوع من تحليل الصوت لمركبات أبسط يستعمل عادة في الأجهزة المساعدة للسمع مما يسهل عملية إزالة الضجيج من الصوت وإلغاء الارتجاع الصوتي وبالتالي تحسين جودة الصوت المستقَبل.
كيف ساهمت الرياضيات بذلك؟
 تحليل فورييه يعتبر من أهم الطرق المتبعة لتحليل الإشارات المعقدة (أصوات مركبة، توابع دورية..) لأجزاء أبسط، فقد أثبت فورييه (1) أن أي تابع دوري يمكن تمثيله بشكل تقريبي كمجموع لانهائي من دوال الجيب Sine أوالتجيب Cosine (أمواج جيبية بسيطة). هذا التقريب يعرف بمتسلسلة فورييه:

من المهم أن نلاحظ أن هذه المتسلسلة هي تقريب للدالة الأصلية، أي كلما أخذنا حدودًا أكثر من هذه المتسلسلة كلما اقتربنا للدالة بذاتها. والآن في كل مّرة تستمع فيها لنغمةُتعجبك تّذكر أنه يمكن التعبير عنها بشكل تقريبي كمجموع غير منتٍه من الدوال الجيبية، وأن الرياضيات قد فّسرت ذلك لك.
المصدر: الباحثون السوريون http://www.syr-res.com/article/8384.html

للمزيد»

جمال الرياضيات: الثوابت ترسم لوحات فنية

هل سبق وزرت معرضًا للرياضيات؟ وهل تعرفت إلى فنانين تحملوا مشقة العمليات الرياضية لرسم لوحاتهم؟ ما رأيك بهذه اللوحات؟ هل يخطر ببالك أن رسمها استخدم عملية رياضية خوارزمية لتحويل رقم ما إلى هذا الشكل؟ المصممان كريستيان إليز فاسيل ومارتن كرزيفينسكي ابتكرا هذا العمل الفني بربط خانات للأعداد π و φ و e ببعضها البعض، مبتكرين لوحات فنية رائعة. سنشرح لكم في هذا المقال طريقة رسم هذه اللوحات الرائعة. ولكن قبل التطرق إلى العمل الفني بحد ذاته، ماهي هذه الأعداد السحرية؟
الرمز π هو رمز يوناني، من المصطلح أنه يشير ببساطة إلى النسبة بين محيط الدائرة وقطرها. يستخدم هذا العدد كثيرًا في الهندسة وهو عدد غير منتِه ×ليه يدور يساوي تقريبًا 3.141592654 . العدد الذهبي φ : الرمز φ هو رمز يوناني أيضًا. رياضيًا، يمثل عددًا غير منته يساوي تقريبًا 1.618033989 . العدد e : هو عدد غير منته يسمى عدد أولر (Euler's Number) أو العدد النبري. على العموم هو عدد هام جدًا في الرياضيات ويساوي تقريبًا 2.718281828 . كيف تحولت هذه الأعداد إلى لوحات؟

في البداية، كانت فكرة كريستيان إليز فاسيل بربط كل رقم من العدد π مع الرقم الذي يليه في العدد، والذي ينقله إلى موقع ما على الصورة... تبدأ اللوحة بإعطاء كل رقم شريحة أو قوس على دائرة ملونة، ثم البدء برسم خطوط تصل بين هذه الشرائح. هذه الخطوط تتميز بأنها تصل بين الشرائح ذات الأرقام الموافقة لخانات العدد π المتتالية. فتبدأ اللوحة من القطعة 3 ثم إلى 1 ثم 4 ثم 1 ...إلخ . كما أنها تحترم رتبة كل رقم العشرية، فمثًل يؤخذ الرقم 3 من بداية القطعة 3 بينما يؤخذ 1 من الجزء الثاني من القطعة 1 نظرًا لكونه من الرتبة العشرية وبدوره الرقم 4 ينزاح عن بداية القطعة 4 لأنه من رتبة عشرية أصغر وهكذا ..

عندما جاء مارتن كرزيفينسكي، أضاف إلى عمل فاسيل بأنه أظهر عدد الانتقالات التي وصلت إلى كل رقم من خلال رسم دوائر متراكبة فوق بعضها، رسم فيها نقاط ملونة حول كل قطعة، ويشير كل لون إلى اتصال هذه القطعة مع رقم آخر. كما أن هذه النقاط موزعة في حلقات، تعبر كل حلقة عن سلسة من أرقام العدد باي، فتكون الحلقة أولى لأول ألف رقم مثًلا وهكذا ..

ماذا كانت نتيجة هذه العملية؟ كانت النتيجة هي هذه اللوحة الفنية الرائعة التي تظهر انتقالات الأرقام في أول 1000 رقم من العدد π

ولا بد من الاعتراف بأن هذا التصميم يتعدى كونه مجرد لوحة فنية، بل يساعدك على تحليل هذا العدد من خلال نظرة سريعة إليه. كما أنك بعد الحلقات المرسومة حول القطع ستتمكن من اكتشاف عدد الأرقام المأخوذة بعين الاعتبار أثناء رسم اللوحة، فمثًلا بإعادة النظر إلى اللوحة ستستنتج بأن أول 1000 خانة تملك عددًا كبيرًا من الاتصالات 9-9 لوجود فقاعة كبيرة ضمن الحلقة الأولى وتحمل لون العدد 9 . هل اقتصرت هذه اللوحات على العدد π ؟ لم يقتصر ذلك أبدًا على π ، بل أجرى الفنانان آليات مماثلة لرسم العددين φ و e وكانت النتيجة هي اللوحات التالية..

وتظهر هذه اللوحة انتقال الأرقام في أول 1000 رقم من e :

أما لوحتنا الأخيرة فهي تظهر جميع الانتقالات لكل من الأرقام 9-0 في أول 2000 خانة من الأعداد π و φ و e معًا :

في النهاية، لا يسعنا إلا أن نذكر قول الفنانين: "مع أن اللوحات هي لأرقام مختلفة تمامًا، إلا أن اللوحات تبدو متشابهة بشكل مثير للدهشة !"، و هذا يدفعنا للتساؤل إن كانت هذه اللوحات ستفتح أفقًا جديدًا للتعرف على بعض خواص هذه الأعداد السحرية و علاقتها مع بعضها البعض..

نقلاً عن الباحثون السوريون http://www.syr-res.com/article/2636.html

للمزيد»

طرائق كتابة المعادلات الرياضية

لو طلبنا من شريحة واسعة من الناس كتابة معادلة رياضية جبرية فسنجد أن معظم الناس قد كتبوا هذا المعادلة بذات الطريقة، إن لم يكن الجميع.

ولكن إن وجدنا أن أحدهم خالف الاتفاق الحاصل فهل هذا يعني أنه على خطأ؟

في الحقيقة ليس بالضرورة أن يكون هذا الشخص على خطأ، لأنه بالفعل يوجد حول العالم عدة طرائق للترميز، سنحاول شرح أهمها.

بداية سنعطي مثاًلا عن ترميز مختلف عن الشائع ألا وهو الترميز البولندي العكسي (RPN-Reverse Polish notation) حيث يعتمد على كتابة العمليات الحسابية قبل المعاملات، والذي تم اختراعه عام 1920م من قبل عالم الرياضيات البولندي (Jan Lucasiewicz)، ثم في عام 1950م إقترح الفيلسوف وعالم الكمبيوتر الأسترالي (Charles L. Hamblin) وضع العمليات بعد المعاملات والذي اتفق على تسميته الترميز البولندي العكسي. فمثًلا: فإن حسب الترميز البولندي العكسي (RPN) يكتب مجموع 2و3 كالتالي : .(+ 3 2 :5 ) الترميز البولندي العكسي يعرف بترميز (Postfix)، وهو يختلف عن الترميز الوسطي (infix) الذي يضع العمليات الحسابية بين المعاملات (الترميز الشائع المنتشر). الترميز البولندي العكسي لا يستخدم فيه الأقواس ويتم تنفيذ المعادلات ببساطة من اليسار الى اليمين، وهذا يبسط كتابة المعادلات في برامج الكمبيوتر لذلك يتم استخدامه في برمجة بعض برامج الكمبيوتر.

والآن لتبسيط الأمور أكثر سنقوم بالمقارنة بين ثلاثة أنواع من الترميزات وهي (الترميز الوسطي، الترميز البولندي، الترميز البولندي العكسي)

الترميز الوسطي المعروف باسم Infix notation: في هذه الطريقة توضع العمليات بين المعاملات وهي الطريقة الأكثر شيوعًا، وكمثال لها:

(A × ( B + C ) / D)

 في الترميز الوسطي يجب وضع قواعد إضافية لجعل هذا الترميز واضحًا وذلك كقواعد أولويات العمليات الحسابية·

الترميز البولندي المعروف باسم Prefix notation: ويتم فيها كتابة العمليات الحسابية قبل المعاملات، وهذه الطريقة لا تحتاج لقواعَد إضافية فلا يستخدم فيها الأقواس مثًلا، فلو أعدنا كتابة المثال المذكور في الترميز الوسطي بطريقة الترميز البولندي سيصبح:

 (/ × A + B C D) وسنمثله باستخدام الأقواس للتبسيط (A (+ B C) ) D ×) /)· الترميز البولندي العكسي المعروف باسم Postfix notation: ويتم من خلاله كتابة العمليات الحسابية بعد المعاملات، وهذه الطريقة أيضًا لا تحتاج لقواعد اضافية فلا يستخدم فيها الأقواس مثًلا، فلو أعدنا كتابة المثال المذكور في الترميز الوسطي بطريقة الترميز البولندي العكسي سيصبح: (A B C + × D / ) وسنمثله باستخدام الأقواس للتبسيط (/ A (B C +) ×) D))

نقلاً عن الباحثون السوريون http://www.syr-res.com/article/8347.html

للمزيد»

عندما يقوم آل سيمبسون بتعليم الرياضيات

يعتبر مسلسل The Simpsons من أكثر البرامج التلفزيونية متابعة من قبل أجيال عديدة، وهو بدون شك أكثر برنامج تلفزيوني معقد يحمل في طياته الكثير من الرسائل الخفية والسخرية اللاذعة، بالإضافة إلى الإشارة إلى رموز عالمية من شخصيات وشركات مختلفة. وإضافة إلى ما سبق ستفاجئ بأن هذا المسلسل يعتبر من أكثر المسلسلات الذي حوى على الرياضيات في حلقاته، وإن كنت لم تنتبه سابقا إلى ذلك فلا تشعر بالاحباط .. فالكثير من متابعي المسلسل لم ينتبهوا إلى هذا الأمر أيضا، أن وجود الرياضيات (و الرياضيات المعقدة أيضا) ليست مجرد ادعاء من شخص مهووس بالرياضيات وبمسلسل ”The Simpsons“ في نفس الوقت بل هذا ما يبدو بوضوح في العديد من الحلقات المميزة لهذا المسلسل الكوميدي الشهير.

أول مثال ممتاز على هذه الحلقات المميزة كان في سلسلة عام 1898 والتي احتوت على العديد من الاسس الرياضية (على شكل مزحات وعبارات كوميدية) وهي الحلقة المميزة (Tree house of Horror VI) حيث تم تقديم خمس دقائق كاملة من الرياضيات وهي أطول فترة من العبارات الرياضية تم تقديمها في مسلسل كوميدي وأيضا ان المسلسل قدم مشاهد وعبارات كوميدية تحوي مزحات غامضة ومبهمة حول نظرية فريمان والتي تعتبر من أعقد نظريات الرياضيات.

المثالين السابقين ما هما إلا اثنين من العديد الوافر من العبارات الكوميدية الرياضية المبهمة في المواسم العديدة من هذا المسلسل.

ان السبب الأساسي في وفرة الرياضيات في مسلسل سمسبون تعود إلى أن معّدي هذا المسلسل بالأساس مهووسو رياضيات Al Jean الذي عمل على إنتاج الموسم الأول من هدا المسلسل وهو الأن المخرج التنفيذي له درس الرياضيات في جامعة Harvard عندما كان في السادسة عشرة والعديد من أفراد فريق هذا المسلسل من الحاصلين على درجات علمية عديدة في الرياضيات وبعضهم يحمل شهادة الدكتوراه فيها فمثلا اJeff Westbrook استقال من منصب باحث خبير في جامعة Yale من أجل كتابة قصص هومر سيمبسون و مارج و بقية أفراد سبرينغ فيلد. عندما انتقل هؤلاء من الحياة الأكاديمية إلى استديوهات قناة FOX نقلوا معهم شغفهم بالارقام و تجلى ذلك بزرع بعض المزحات والعبارات الرياضية المبهمة في العديد من حلقات المسلسل.

حتى الأن لم يدرك إلا بعض مهووسي الرياضيات أن كّتاب المسلسل قامو بدّس الرياضيات في كتاباتهم بينما كان بقية الجمهور المتابع غافلا تماما عن نظريات الأرقام والعبارات الهندسية والايماءات الرياضية التي تم وضعها بشكل غامض ومسل في نفس الوقت في المسلسل.

سنقوم تباعا بعرض العديد من هذه الرياضات التي تم وضعها في المسلسل كنوع من المرح المزدوج بين المسلسل الرائع والرياضيات الأروع بنفس الوقت حيث سنقوم علاوة على الاشارة إلى موضع الرياضيات الذي تم تقديمها في المسلسل سنقوم بشرح الحقائق الرياضية التي وردت أيضا . انها لمتعة حقا الجمع بين شغف الرياضات و شغف هذا المسلسل ”The Simpsons“ العالمي

حلقة من سلسلة عام (2006) اسمها Marge and Homer Turn acouple play" احتوت هذه الحلقة على 3 جرعات سرية من الرياضيات ومختصر القصة الاجتماعية التي عرضت فيها الحلقة أن مارج وهومر يقومون بمساعدة لاعب البيسبول المشهور Buck Mitchell وزوجته Tabitha Vixx الذين يعانون من مشاكل وصعوبات في حياتهم الزوجية وتبلغ ذروة القصة عند ظهور Tabitha على شاشة عملاقة في استاد سبرينغ فيلد حيث تصرح بحبها لـBuck على مرأى الجمهور و الأهم من ذلك أنه مباشرة و قبل ظهورها على الشاشة يطرح على الشاشة نفسها سؤال لمعجبي البيسبول للتنبؤ بعدد الحاضرين في الملعب . الشاشة تقوم باظهار 3 أرقام كخيارات : الأرقام هي 8،191 و 8،208 و 8،128

إن المتابع يعتقد للوهلة الأولى أن الأرقام هي أرقام اعتباطية و لكن على العكس تماما تعتبر هذا الأرقام من أشهر الأرقام في عالم الرياضيات فهي على التسلسل عدد مثالي وعدد نرجسي وعدد أولي 8،128 يدعى بالعدد المثالي و ذلك لأنه يمكن الوصول إليه من خلال جمع نواتج القسمة منه فأصغر رقم مثالي هو 6 و ذلك لأن لرقم 6 قواسم 1 و 2 و 3 و ان جمع قواسمه تؤدي إلى العدد نفسه أي إلى رقم 6 الرقم المثالي الثاني 28 وذلك بسبب أن جمع قواسمه (14، 7 ،[4] ،2 ،1) [ملاحظة: ما يوجد بين [] هو من تعديل المدونة وليس من المقال الأصلي] يؤدي إلى الحصول على العدد نفسه وهو 28 الرقم المثالي الثالث هو 496 والرقم المثالي الرابع هو 8,128 و هو الذي ظهر في الحلقة وبحسب ما أشار Rene Descartes (رياضي و فيلسوف فرنسي في القرن 17): (أن الأرقام المثالية كالرجال المثاليين ... من النادر وجودهم ) 8,208 أما الرقم 8,208 فإنه في الحقيقة يسمى الرقم النرجسي أو بعبارة أخرى الرقم المحب لنفسه كيف ذلك؟؟ يسمى هذا النوع من الأرقام بالأرقام النرجسية أو الأرقام الفوق مثالية اوأرقام أرمسترونغ وذلك بسبب أنه يمكننا أن نصل إلى هذا الرقم من خلال جمع الأرقام المفردة في الأساس مرفوعة إلى قوة من عدد مراتب العدد نفسه. مثال على ذلك الرقم 153 هو رقم نرجسي مؤلف من 3 مراتب فلنحصل عليه نقوم بجمع 3 مع 5 مع 1 و كل منهما مرفوع إلى الأس 3 (عدد المراتب)

مثال أخر الرقم 92727 

و في مثالنا نجد الرقم 8208

أما العدد 8,191 فهو عدد أولي لانه لا يقبل القسمة إلا على الرقم 1 وعلى الرقم نفسه ويشار إلى الرقم 8,191 أيضا بانه رقم (مينسيري الأولي) لانه بحسب رياضي في القرن السابع عشر يدعى مارين مينسيري أشار إلى ان الرقم 8,191 مساو لـ 1-13^2 و هو ينتمي إلى مجموعة الأعداد (p-1^2) حيث p هو عدد أولي أيضا. إلى هنا نكتفي بهذه الجرعة من الرياضيات وهنا تعرفنا وبسبب حلقة واحدة من المرح على الأعداد المثالية والأعداد النرجسية وأيضا أعداد مينسيري الأولية وإلى مقالات أخرى تكشف عن خفايا الرياضيات في مسلسل ”The Simpsons“

نقلاً عن موقع الباحثون السوريون: http://www.syr-res.com/article/8310.html

للمزيد»